Высшая математика. Пучков Н.П. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример 3.4. Пусть
22
2 yxz −−= ; уравнение связи: 01
=
−
+
yx . Имеем )1(2),(
22
−+λ+−−= yxyxyxL .
.122
;2
;2
,01
;02
;02
'
'
=λ+λ
λ=
λ=
=−+
=λ+−=
=λ+−=
y
x
yx
yL
xL
y
x
Следовательно:
2/1,2/1,1
=
=
=
λ
yx .
()
2/1;2/1
0
P – стационарная точка функции L .
Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака определителя
(
)
()()
()()
00
"
00
"
0
'
00
"
00
"
0
'
0
'
0
'
,,)(
,,)(
)(0
λλϕ
λλϕ
ϕϕ
−=∆
PLPLP
PLPLP
PP
yyxyy
xyxxx
yx
,
где
()
000
, yxP – стационарная точка функции
L
;
0
λ – соответствующее значение множителя Лагранжа.
Если
0<∆ , то ),( yxf имеет в точке
()
000
, yxP условный максимум; если ∆ > 0 – то условный минимум.
Для примера 3.4:
()
1
0
'
=ϕ P
x
;
()
1
0
'
=ϕ P
y
;
()
2
0
"
−=PL
xx
;
(
)
0
0
"
=PL
xy
;
(
)
2
0
"
−=PL
yy
,
04
22
11
201
220
110
201
021
110
<−=
−
−=
−
−−=
−
−−=∆
.
Следовательно,
()
2/1;2/1
0
P – точка максимума функции
22
2 yxz −−= на прямой )5,1(,01 ==−+ zyx .
5. Пусть
),( yxfz = задана в замкнутой области D, ограниченной линией 0),(:
=
ϕ
yxl . Тогда наибольшее и наимень-
шее значения функции
z
в этой области находят путем сравнения значений этой функции в стационарных точках области
D и стационарных точках функции Лагранжа: ),(),();,( yxyxfyxL
λ
ϕ
+
=
λ
.
Примечание. Если уравнение связи разрешимо относительно переменной y : )(0),(
1
xyyx
ϕ
=
⇒=ϕ , то
()
)()(,
1
xFxxfz =ϕ= и стационарные точки f – стационарные точки функции одной переменной )(xF . В примере 3.4
xy −=1 , тогда
22222
221212)1(2 xxxxxxxz −+=−+−−=−−−= ; xz 42'
−
=
, 0'
=
z при
2/1
=x
. Из уравнения связи
2/12/11 =−=y . Таким образом
()
2/1;2/1
0
P
– стационарная точка.

Страницы