Высшая математика. Пучков Н.П. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Проверим, например, формулу (3). Действительно, при 0>x
xx lnln =
и
()
;
1
'ln
x
x =
при
)ln(ln0 xxx −=<
и
()
x
x
x
1
)1(
1
')ln( =−⋅
−
=−
, что и требовалось доказать.
Проверим еще справедливость формулы (11). Правую часть представим в виде:
()
Caxax
a
++−− lnln
2
1
и после дифференцирования имеем
2222
1
2
111
2
1
axax
axax
aaxaxa
−
=
−
+−+
=
+
−
−
,
что совпадает с подынтегральной функцией.
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.
При решении задач интегрирования бывает удобно использовать следующие свойства неопределенного интеграла:
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного инте-
грала равен подынтегральному выражению, т.е.
()
∫∫
==
′
dxxfdxxfdxfdxxf )()();()( .
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоян-
ная, т.е.
∫
+= CxFxdF )()( .
3. Постоянный множитель можно вынести из под знака неопределенного интеграла, точнее, если
,0≠k то
∫∫
= .)()( dxxfkdxxkf
4. Неопределенный интеграл от суммы функции равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.
[]
∫∫∫
+=+ dxxfdxxfdxxfxf )()()()(
2121
Пример 4.3. Найти
dx
x
xx
∫
++
3
3
2
532
.
Разделим почленно числитель на знаменатель и применим сначала свойства 3 и 4, а затем табличные интегралы (2) и
(3).
∫∫∫∫
=++=
++
−
−
x
dx
dxxdxxdx
x
xx
532
532
6
5
2
3
3
3
2
Cxx
x
Cx
x
x
+++−=+++
−
=
−
ln18
4
ln
6
1
1
3
2
1
2
6
6
2
1
.
Пример 4.4. Найти
∫
+
24
xx
dx
.
Сначала преобразуем подынтегральную функцию
1
11
)1(
11
2222
22
24
+
−=
+
−+
=
+ xxxx
xx
xx
.
Теперь запишем исходный интеграл как разность табличных интегралов (2) и (9) (при
1=a )

Страницы