ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Лекция 5
Неопределенный интеграл. Методы интегрирования
1. Интегрирование методом замены переменной.
Во многих случаях введение новой переменной позволяет упростить подынтегральное выражение и свести интеграл к
линейной комбинации табличных. Такой метод носит название метода замены переменной. Он основан на следующей тео-
реме.
Теорема 5.1. Пусть функция
)(tx ϕ= определена и дифференцируема на промежутке
T
и X – множество ее значе-
ний, на котором определена функция
)(xf . Тогда если )(xF – первообразная для )(xf на X, то
()
)(tF ϕ – первообразная для
()
)(')( ttf ϕϕ на
T
, т.е.
XxTtdtttfdxxf
tx
∈∈ϕϕ=
∫∫
ϕ=
,,)('))(()(
)(
.
Пример 5.1. Найти
∫
+
dx
x
x
1
.
Положим
2
tx = (чтобы избавиться от иррациональности), тогда tdtdx 2
=
и наш интеграл примет вид
=
+
−⋅=
+
−+
=
+
=
+
∫∫∫∫∫
=
22
2
2
1
2
1
11
22
1
1
2
t
dt
dtdt
t
t
tdt
t
t
dx
x
x
tx
()
.)arctg(2arctg2 CxxCtt
xt
+−⋅=+−⋅=
=
Пример 5.2. Найти
∫
− dxx
2
4
. Очевидно, что 2≤x . Положим 20,sin2
π
≤
≤= xtx , тогда
tttx cos2cos2sin444
222
==−=− , а tdtdx cos2= . Имеем
∫∫
==−
=
dttdxx
tx
cos2cos24
sin2
2
=
∫∫
++=+= Cttdttdtt 2sin2)2cos1(2cos22
2
.
Если
tx sin2= , то
2
arcsin
x
t =
, а
2
2
4
2
1
4
1cossin22sin xx
x
xttt −=−== .
Таким образом,
∫
+−+=− Cxx
x
dxx
22
4
2
1
2
arcsin24
.
Пример 5.3. Найти
∫
−− )4(ln)4(
5
xx
dx
.
Положим
tx =− )4ln( , тогда
4
)4(
4
1
−
=−
−
=
x
dx
xd
x
dt и
∫∫∫
+
−
−=+−=+
−
===
−−
−
−
C
x
C
t
C
t
dtt
t
dt
xx
dx
)4(ln
1
4
1
4
)4(ln)4(
44
4
5
55
.
2. Метод интегрирования по частям.
Этот метод основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций
)(xuu = и )(xvv
=
vduudvuvd
+
=
)( .
Тогда
∫∫∫
+= vduudvuvd )( или
∫∫
+= vduudvuv .
Теорема 5.2. Пусть
)(xu и )(xv – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется фор-
мула интегрирования по частям:
∫∫
−= vduuvudv .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »