Высшая математика. Пучков Н.П. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Эта формула позволяет свести нахождение неопределенного интеграла
∫
udv к неопределенному интегралу
∫
vdu , кото-
рый может оказаться более простым.
Пример 5.4. Найти
∫
.ln xdx
Обозначим
,,ln dxdvux == тогда
x
dx
du =
,
x
v
=
и
∫∫
+−=−= Cxxx
x
dx
xxxxdx lnlnln
.
Пример 5.5. Найти
∫
+ xdxx cos)5( .
Обозначим
,cos,5 dvxdxux
=
=+ тогда dxdu = , xxdxv sincos ==
∫
. (Достаточно одной первообразной).
∫∫
+++=−+=+ Cxxxxdxxxxdxx cossin)5(sinsin)5(cos)5( .
Следует отметить, что успех применения формулы интегрирования по частям существенно зависит от способа разбие-
ния подынтегрального выражения
dxxf )( на произведение dvu
⋅
.
Пример 5.6. Найти
∫
xdxx cos .
Обозначим
xdxdvxu == ,cos , тогда ,sin xdxdu −=
∫
==
2
2
x
xdxv
. Тогда
∫∫
−−= dxx
x
x
x
xdxx )sin(
2
cos
2
cos
22
.
Очевидно, что новый интеграл «сложнее» исходного. В то же время, если обозначить
xdxduxu cos, == , то (см. при-
мер 5.5) результат будет иным.
В математике разработаны приемы интегрирования некоторых конкретных классов функции.
3. Интегрирование рациональных функций.
Обозначим
)(xR – рациональную функцию, т.е. функцию, которую можно записать в виде отношения двух многочле-
нов
)()()( xQxPxR = .
Если эта дробь неправильная, т.е. степень многочлена
)(xP не меньше степени многочлена )(xQ , то можно выполнить
деление с остатком и представить
)(xR в виде некоторого многочлена (целой части) и правильной дроби, числителем кото-
рой является остаток, например
4
4
4
22
3
−
+=
− x
x
x
x
x
.
В курсе алгебры доказывается
Теорема 5.3. Всякая правильная дробь может быть представлена в виде алгебраической суммы простейших дробей
вида
;;
)(
;
2
1121
qpxx
NxM
ax
A
ax
A
n
++
+
−
−
()
m
qpxx
NxM
++
+
2
22
,
где
qpaNNMMAA ,,,,,,,,
212121
– действительные числа; n и m – натуральные числа.
Рассмотрим некоторые частные примеры применения этой теоремы.
Пример 5.7. Найти
∫
+− )1)(1(
4
2
xx
xdx
.
Подынтегральную функцию можно представить
)1)(1(
4
2
+− xx
x
1
)1(
1
)1)(1(
4
3
2
21
2
+
+
+
+
−
=
+−
=
x
A
x
A
x
A
xx
x
.
*
Таким образом:
*
Если знаменатель содержит кратные множители
k
ax )( +
, то такому множителю соответствует сумма k дробей
k
k
ax
A
ax
A
ax
A
)(
...
)(
2
21
+
++
+
+
+
.

Страницы