Высшая математика. Пучков Н.П. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
3
2
32211
2
1
2
)1)(1(
2
)1)(1(
4
+−
−+−+++
=
+− xx
AxAAxAAxAxA
xx
x
.
Откуда
32121
2
31
)2()(4 AAAxAAxAAx −−++++= .
Это равенство справедливо при любых значениях
x
.
При
;1
;1
;0
−=
=
=
x
x
x
−=−−+−−+=−
=−−++++=
−−=
.224
;424
;0
23212131
13212131
321
AAAAAAAA
AAAAAAAA
AAA
Решая эту систему находим, что
1;2;1
321
−
=
== AAA . Окончательно имеем:
∫∫∫∫
=++−
+
−−=
+
−
+
+
−
=
+−
Cx
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
xx
xdx
1ln
1
2
1ln
1
)1(
2
1
)1)(1(
4
22
C
xx
x
+
+
−
+
−
=
1
2
1
1
ln .
Пример 5.8. Найти
∫
−
+
dx
xx
x
4
4
3
2
.
Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители
)2)(2()4(4
23
+−=−=− xxxxxxx . Согласно теореме
5.3 правильная дробь должна разлагаться в сумму простейших дробей
22
4
4
3
2
+
+
−
+=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
.
Найдем коэффициенты
BA, и C следующим образом. Приведем все слагаемые правой части к общему знаменателю и
приравняем числители:
)2()2()2)(2(4
2
−++++−=+ xCxxBxxxAx .
Это равенство выполняется при любых значениях х.
Заметим, что у каждого слагаемого в правой части отсутствует в точности один сомножитель, так что при подстановке
корней знаменателя все слагаемые правой части, кроме одного, обратятся в ноль:
.1),4)(2(44:2
;1,424:2
;1),2)(2(4:0
=−−=+−=
=⋅⋅==
−
=
−
=
=
CCx
BBx
AAx
Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид
2
1
2
11
4
4
3
2
+
+
−
+
−
=
−
+
xxx
xx
x
,
так что интеграл представляется в виде суммы интегралов, которые легко находятся
=+++−+−=
+
+
−
+−=
−
+
∫∫∫∫
Cxxx
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xx
x
2ln2lnln
22
4
4
3
2
C
x
x
+
−
=
4
ln
2
.
Математиками разработаны приемы интегрирования и других классов функций (тригонометрических, иррациональных
и др.).
Нахождение неопределенных интегралов – задача, существенно более сложная по сравнению с дифференцированием.
Ее решение можно облегчить, применяя математические справочники и компьютерные программы, например Mathcad.
Задача нахождения первообразной элементарной функции – это вторая знаменитая математическая проблема, которая
считается неразрешимой принципиально (первой была задача решения алгебраических уравнений в радикалах). Оказалось,
что для очень многих элементарных функций первообразные не являются элементарными. Таковы, например, функции

Страницы