Высшая математика. Пучков Н.П. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 6
Дифференциальные уравнения
1. Общие понятия и примеры.
Различные вопросы математики, естествознания, экономики приводят к необходимости решения уравнений, содержа-
щих в качестве неизвестной некоторую функцию
)(xy , наряду с которой в уравнении присутствуют и ее производные раз-
личных порядков. Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Обыкно-
венные дифференциальные уравнения содержат искомую функцию одной переменной, ее производные различных порядков
и независимую переменную. Если в уравнении искомая функция зависит от нескольких переменных и это уравнение содер-
жит частные производные, то это уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Порядком
дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящих в него производных.
Далее мы будем изучать обыкновенные дифференциальные уравнения. С одним из наиболее простых таких уравнений,
уравнением вида
)(' xfy = , мы уже встречались в интегральном исчислении. Его решением является неопределенный инте-
грал от
∫
= dxxfyxf )(:)( . Приведем другие примеры обыкновенных дифференциальных уравнений:
xyyyyxyy ==+=+ ",0''",2'
2
.
Определение 6.1. Равенство, связывающее независимую переменную
x
с неизвестной функцией )(xy и ее производ-
ными до некоторого порядка n включительно, называется дифференциальным уравнением n-го порядка.
Приведенные выше уравнения являются, соответственно, дифференциальными уравнениями первого, третьего и второ-
го порядков.
Любое дифференциальное уравнение может быть записано в виде
0)...,,',,(
)(
=
n
yyyxF .
Определение 6.2. Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция )(xy , имеющая произ-
водные до n-го порядка включительно, и такая, что ее подстановка в уравнение обращает его в тождество.
Например, решением уравнения
yy 2' = или ydxdy 2
=
является функция .
2x
ey = Действительно .22'
2
yey
x
==
Из интегрального исчисления известно, что наиболее общая функция у, удовлетворяющая уравнению
dxxfdy )(
=
име-
ет вид
∫
+= Cdxxfy )( , С – произвольное постоянное. Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное
множество решений, каждое из которых получится, если произвольному постоянному придать определенное числовое зна-
чение. Решение дифференциального уравнения, содержащее произвольное постоянное, называется общим решением, каждое
решение, которое получается из общего, если дать постоянному
C определенное числовое значение, называется частным
решением.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка есть
0)',,(
=
yyxF (например 03'
2
=++ xyyy ). Если это
уравнение можно разрешить относительно
'y , т.е. записать в виде ),(' yxfy
=
, то говорят, что уравнение записано в нор-
мальной форме (или в форме Коши);
),( yxf – функция, определенная в некоторой обрасти
D
плоскости XOY .
Решением дифференциального уравнения
),(' yxfy = на некотором интервале ),( ba называется функция )(xyy
=
, оп-
ределенная и дифференцируемая на этом интервале и удовлетворяющая условиям:
1) Точка
()
DxyxM ∈)(, ;
2)
()
)(,)(' xyxfxy = при любом ),( bax ∈ .
Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение
),(' yxfy
=
– значит найти все его решения в заданном конеч-
ном или бесконечном интервале
),( ba .
Задача Коши при решении дифференциального уравнения
),(' yxfy
=
заключается в следующем: требуется найти его
решение, удовлетворяющее (дополнительно) условию
00
)( yxy
=
, где DyxM
∈
),(
00
.
Теорема 6.1. (Существования и единственности решения задачи Коши). Пусть задано дифференциальное уравнение
),(' yxfy = . Если функция ),( yxf и ее частная производная
),( yxf
y
′
определены и непрерывны в некоторой области
D
и
точка
DyxM ∈),(
000
, то существует единственное решение )(xyy
=
уравнения ),(' yxfy
=
, удовлетворяющее начальному
условию
00
)( yxy = .
Без доказательства.
На основании теоремы Коши можно уточнить понятие частного решения.
Определение 6.3. Если задача Коши имеет единственное решение, то это решение называется частным решением диффе-
ренциального уравнения.
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют вид
)()(' yqxpy
=
, где )(xp и )( yq – непре-
рывные функции.
Для отыскания решения этого уравнения необходимо разделить переменные
x
и y . Это возможно следующим обра-
зом:

Страницы