Высшая математика. Пучков Н.П. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0)(,)(
)(
)()()()(' ≠=⇔=⇔= yqdxxp
yq
dy
yqxp
dx
dy
yqxpy .
∫∫
= dxxp
yq
dy
)(
)(
– общий интеграл дифференциального уравнения.
Пример 6.1. Решить уравнение
0')1(
2
=++ xyyx .
Решение: Перепишем уравнение в виде
xy
dx
dy
x −=+ )1(
2
или 0,
1
2
≠
+
−= y
x
xdx
y
dy
.
(
)
∫∫
+
=++−=⇒
+
−=
2
2
2
1
lnln1ln
2
1
||ln
1
x
C
Cxy
x
xdx
y
dy
.
Тогда
2
1 x
C
y
+
=
; 0=y также является решением.
4. Однородные дифференциальные уравнения.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида
),(' yxfy
=
, где функция ),( yxf яв-
ляется однородной функцией нулевой степени (равенство
),(),( yxftytxf
=
выполняется для любого .0>t ) Для решения
однородного уравнения
),(' yxfy = необходимо:
1) свести его к уравнению
=
x
y
qy '
;
2) полученное уравнение свести к уравнению с разделяющимися переменными:
uuqxxu −= )()(' , используя новую пе-
ременную
x
xy
xu
)(
)(
= .
Действительно, если
)()( xxuxy = , то '' xuuy
+
= и уравнение
=
x
y
qy
' запишется в виде )(' uqxuu
=
+
или
uuqxu −= )(' .
Пример 6.2. Решить уравнение
x
y
xxyy
tg'=− .
Решение. Разрешим данное уравнение относительно производной
'y , полагая, что 0≠x ,
x
y
tg
x
y
y −=
' . Это уравнение
однородное, так как
=
−=−=
tx
ty
q
xt
yt
xt
yt
x
y
x
y
x
y
q tgtg
. Введем переменную
x
xy
xu
)(
)(
=
=
x
y
u
далее
, тогда
uuxuu tg' −=+ или uxu tg' −= .
Это уравнение – уравнение с разделяющимися переменными
0tg,tg ≠−=⇒−= u
x
dx
tgu
du
u
dx
du
x .
∫∫∫
=⇒+−=⇒−= uCx
u
udu
x
dx
u
du
sinlnlnln
sin
cos
tg
x
C
uxC =⇒−= sinlnln
.
Возвращаясь к переменным
x
и y можно записать
x
C
x
y
=
sin или
x
C
xy
x
C
x
y
arcsin,arcsin == . Кроме того, 0
=
y
также решение.
Пример 6.3. Решить уравнение
0)('
=
+
+
+
xyyyxyx . Имеем )1(')1( xyyyx
+
=+− или
01,01,
11
≠+≠+
+
−=
+
xy
x
xdx
y
ydy
.
∫∫
+
−=
+ x
xdx
y
ydy
11
;
Cxxyy
+
+
+
−
=
+
−
|1|ln|1|ln .

Страницы