Высшая математика. Пучков Н.П. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 7
Линейные дифференциальные уравнения
1. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка – это уравнения вида
)()(' xfyxpy
=
+
, (7.1)
где
),( bax ∈ , функции )(xp и )(xf непрерывны на ),( ba , причем 0)(
≠
xf . (При 0)('0)( =+
=
yxpyxf – уравнение с раз-
деляющимися переменными; его решение
))(exp()(
∫
−= dxхрCxy ). Уравнение (7.1) решается двумя способами.
Метод Бернулли. Искомая функция
)(xy представляется в виде uvy
=
, тогда ''' uvvuy +
=
и искомое уравнение запи-
сывается в виде:
)('' хfpuvuvvu
=
++ или )()'(' xfpvvuvu
=
+
+
.
Пусть
)(xv такова, что 0'
=
+ pvv , тогда )(' xfvu = и получаются два уравнения для нахождения функций )(xu и )(xv
(а следовательно, можно найти
)()()( xvxuxy = .
Уравнение
0' =+ pvv имеет решение
∫
=
− dxxp
exv
)(
)( , тогда второе уравнение
∫
=
dxxp
exfu
)(
)(' , а
∫
+
∫
= Cdxexfxu
dxxp )(
)()(
. Общее решение неоднородного линейного уравнения первого порядка (7.1) имеет вид:
∫
+
∫
=
−
∫
dxxpdxxp
eCdxexfxy
)()(
)()( .
Эту формулу можно запомнить, а можно при решении каждого конкретного уравнения повторять указанный выше ал-
горитм.
Пример 7.1. Решить уравнение
x
xyy
cos
1
tg'
=+
. Здесь ;tg)( xxp
=
x
xf
cos
1
)(
= , тогда
=
+=
∫
+
∫
=
∫∫
−
−
xx
xdxxdx
eCdxe
x
eCdxe
x
xy
coslncosln
tgtg
cos
1
cos
1
)(
xCxxC
x
dx
cos)tg(cos
cos
2
+=
+=
∫
.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Этот метод состоит из двух этапов.
На первом этапе находится общее решение однородного линейного уравнения
∫
==+
− dxxp
Ceyyxpy
)(
:0)(' , где
const−C .
На втором этапе ищется общее решение неоднородного уравнения в виде:
∫
=
− dxxp
exCxy
)(
)()( , где C – функция от
x
.
После подстановки этого выражения в исходное уравнение (7.1) получаем
)()()()()()('
)()()(
xfexpxCexpxCexC
dxxpdxxpdxxp
=
∫
+
∫
−
∫
−−−
или
)()('
)(
xfexC
dxxp
=
∫
−
, откуда
∫
=
dxxp
exfxC
)(
)()(' ,
а
∫
+
∫
=
1
)(
)()( CdxexfxC
dxxp
,
где
1
C – произвольная постоянная.
Тогда
∫
+
∫
=
−
∫
dxxpdxxp
eCdxexfxy
)(
1
)(
)()( .
2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
)()(')(" xfyxqyxpy
=
+
+
,
где
)(),(),( xfxqxp – заданные (7.2) непрерывные функции переменной ),(, baxx
∈
.
Этому уравнению соответствует однородное линейное уравнение

Страницы