Высшая математика. Пучков Н.П. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0)(')(" =
+
+
yxqyxpy . (7.3)
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка (7.3) основано на использовании сле-
дующих свойств.
Пусть
)(
1
xy и )(
2
xy – два различных решения уравнения (7.3), т.е. выполнено 0
'
1
"
1
=++ qypyy и 0
'
2
"
2
=++ qypyy , то-
гда:
1. Функция
1
yC , где C – произвольная постоянная, является решением.
2. Сумма решений
21
yy + также является решением.
• Функции )(
1
xy и )(
2
xy называются линейно независимыми на интервале ),( ba , если составленный на их основе
определитель Вронского не равен нулю.
0
)()(
)()(
21
21
≠
′′
=
xyxy
xyxy
W
.
Пример:
;)(
1
1
xk
exy =
21
)(
2
,)(
2
kkexy
xk
≠= , тогда
()
0
)(
12
21
21
21
21
≠−==
+ xkk
xkxk
xkxk
ekk
ekek
ee
W .
Если
)(
1
xy и )(
2
xy – два линейно независимых частных решения уравнения (7.3), то общим решением этого уравнения
является их линейная комбинация:
)()(
2211
xyCxyCy
+
=
,
где
1
C и
2
C – произвольная постоянная.
Пример:
x
ey
2
1
=
и
x
ey
3
2
=
являются частными решениями уравнения
06'5" =
+
−
yyy
.
Действительно:
06104;4;2
2222"
1
2'
1
≡+−==
xxxxx
eeeeyey .
06159;9,3
3333"
2
3'
2
≡+−==
xxxxx
eeeeyey .
Следовательно:
xx
eCeCy
3
2
2
1
+=
– общее решение.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид
)()()(
2211
xYxyCxyCy
+
+
= ,
где
21
, CC – произвольные постоянные; )(
1
xy и )(
2
xy – линейно независимые частные решения соответствующего одно-
родного уравнения (7.3);
)(xY – любое частное решение неоднородного уравнения (7.2). При этом всегда можно подобрать
значения постоянных
1
C и
2
C так, чтобы из общего решения получить частное решение, удовлетворяющее любым задан-
ным начальным условиям
'
0000
)(',)( yxyyxy ==
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид
0'"
=
+
+
bayy , где a и Rb ∈ . (7.4)
Если искать частные решения этого уравнения в виде
x
ey
λ
= , где const
−
λ
, то в силу
x
ey
λ
λ=' ,
x
ey
λ
λ=
2
" из уравнения
(7.4) получаем уравнение относительно числа
λ
0
2
=+λ+λ
λλλ xxx
beeae или
(
)
0
2
=+λ+λ
λ
bae
x
или 0
2
=+λ+λ ba , (7.5)

Страницы