Высшая математика. Пучков Н.П. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 8
Определенный интеграл. Основные понятия и свойства
Рис. 8.1
1. К понятию определенного интеграла
можно прийти, решая задачу о вычислении
площади криволинейной трапеции
aABb ,
ограниченной сверху графиком непрерывной
функции
)(xfy = , заданной на отрезке
],[ ba , (рис. 8.1). Основой понятия опреде-
ленного интеграла является интегральная
сумма.
2. Пусть на отрезке ],[ ba задана непрерывная функции )(xfy
=
(рис. 8.2). Для построения интегральной суммы
разобьем отрезок ],[ ba на п частей точками bxxxxa
nn
=
<
<
<
<
=
−110
... , и будем говорить, что произведено разбиение Т.
На каждом частичном отрезке ],[
1 ii
xx
−
, где ni ...,,2,1= выберем (произвольным образом) промежуточную точку
i
ξ
(рис. 8.2), и, обозначив
1−
−=∆
iii
xxx , bxax
n
== ,
0
вычислим
n
чисел )...,,2,1()( nixfS
iii
=
∆
ξ
=
.
Сумма
∑∑
==
∆ξ===
n
i
n
i
iiinT
xfSIS
11
)( называется интегральной суммой для функции )(xfy = на отрезке ],[ ba , соот-
ветствующей разбиению Т.
Интегральная сумма
∑
=
∆ξ
n
i
ii
xf
1
)( , соответствующая каждому конкретному разбиению Т, зависит от выбора промежу-
точных точек ],[
1 iii
xx
−
∈
ξ
.
3. Пусть функция )(xf положительна на отрезке ].,[ ba Рассмотрим рис. 8.2, где значение
iii
xfS ∆
ξ
= )( равно площа-
ди прямоугольника с основанием
i
x
∆
и высотой )(
i
f
ξ
. Поэтому интегральная сумма
∑
=
∆ξ
n
i
ii
xf
1
)( равна площади ступенча-
той фигуры, изображенной на рис. 8.1. Эта фигура ограничена сверху ступенчатой линией, которая на каждом из промежут-
ков ),(
1 ii
xx
−
совпадает с прямой )(
i
fy
ξ
= , параллельной оси Ox (рис. 8.2).
4. Для каждого конкретного разбиения Т отрезка ],[ ba на п частей найдем число
λ
, равное наибольшей длине отрезков
iii
xxx ∆=λ
−
max:],[
1
. Пусть при стремлении λ к нулю существует конечный предел интегральной суммы
∑
=
∆ξ
n
i
ii
xf
1
)( , кото-
рый не зависит от разбиения отрезка
],[ ba точками
i
x и от выбора промежуточных точек
i
ξ
. Тогда этот предел называется
определенным интегралом от функции
)(xfy = на отрезке ],[ ba , а сама функция )(xfy
=
называется интегрируемой на
этом отрезке. Обозначение определенного интеграла:
∑
∫
=
→
∆=
n
i
ii
b
a
xfdxxf
1
0
)(lim)(
ξ
λ
. Здесь символ
∫
b
a
называется знаком опре-
деленного интеграла, числа a и
b нижним и верхним пределами интегрирования соответственно;
x
– переменной интегриро-
вания, функция
)(xf – подынтегральной функцией, а выражение dxxf )( – подынтегральным выражением.
5. Всякая функция, непрерывная на отрезке ],[ ba , интегрируема на этом отрезке.
Рис. 8.2 Рис. 8.3
6. Геометрический смысл определенного интеграла. Если функция )(xfy
=
неотрицательна и непрерывна на отрезке
],[ ba , то в этом случае определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции aABb под кривой
)(xfy = (заштрихованная область на рис. 8.3).
7. Свойства определенного интеграла.
В
A
х
0
= а
x
1
x
2
x
n–1
b = x
n
а b
x
y
A
B
y
= f(x)
y
B
b
а
х
1
х
i–1
х
n–1
f(ξ
1
)
∆
S
1
=f(ξ
1
)∆x
∆S
i
х
1
ξ
1
A
y = f(x)

Страницы