Высшая математика. Пучков Н.П. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

которое называется характеристическим.
Пусть
baD 4
2
−= – дискриминант уравнения (7.5). Тогда общее решение уравнения (7.4) определяется следующим об-
разом.
1)
Если 0>D , то
xx
eCeCxy
21
21
)(
λλ
+= , где
1
λ
и
2
λ
– корни характеристического уравнения (7.5).
2)
Если 0=D , то
x
exCCxy
λ
+= )()(
21
, где λ – кратный корень (7.5).
3)
Если 0<D , то )cossin()(
21
xCxCexy
x
β+β=
α
, где
α
и
β
– действительная и мнимая части корней характеристи-
ческого уравнения (7.5).
04,1),4()4)(1(4
222222
>−−=−=−−=−= abiabiabbaD .
Тогда
i
abia
β±α=
−±−
=λ
2
4
2
2,1
,
2
4
;
2
2
aba −
=β−=α
.
Пример 7.1.
04'4" =+− yy , тогда (7.4) 044
2
=+λ−λ . 2
2,1
=
λ
,
x
exCCy
2
21
)( += .
Если дано неоднородное уравнение (7.2), то его частное решение (если известны
)(
1
xy и )(
2
xy – решения соответст-
вующего ему однородного уравнения) находятся методом вариации произвольных постоянных, т.е. в виде
)()()()()(
2211
xyxCxyxCxY += . Для нахождения неизвестных функции )(
1
xC и )(
2
xC необходимо решить систему двух
уравнений
=
′′
+
′
=
′
+
′
),(
;0
2211
2211
xfyCyC
yCyC
относительно )(
1
xC
′
и )(
2
xC
′
, проинтегрировав которые определяют )(
1
xC и )(
2
xC .
Задачу нахождения частного решения можно решать методом неопределенных коэффициентов, если правая часть урав-
нения имеет вид:
)sin)(cos)(()( xxQxxPexf
mn
x
β+β=
α
.
∗
Пример 7.2. Решить уравнение
x
eyyy
2"
46'5 −=+− .
Общее решение однородного уравнения
06'5
"
=+− yyy имеет вид
xx
eCeCy
3
2
2
1
+= .
)4(4)(
22
−=−=
xx
eexf . Имеем 4)(;0;2
−
=
=
β
=α xP
n
. Частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:
,)(
2x
AxexY = где
A
– неизвестный коэффициент. Имеем
xx
AxeAexY
22
2)(' +=
xxx
AxeAeAexY
222"
422)( ++= .
После подстановки в исходное уравнение
xxxxxx
eAxeAxeAeAxeAe
222222
4610544 −=+−−+ ,
4
−
=
−
A
или
4=
A
.
Таким образом
xxx
xeeCeCy
23
2
2
1
4++= .
∗
Если
0=β
, то
)()( xPexf
n
xα
=
. Частное решение ищется в виде
]...[)(
10
n
n
xk
xAxAAexxy +++=
α
, где
k
– кратность корня
α
=
ха-
рактеристического уравнения (7.5);
n
AAA ...,,,
10
– числа, подлежащие определению.

Страницы