Высшая математика. Пучков Н.П. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 9
Формула Ньютона-Лебница. Замена переменной и интегрирование
по частям в определенном интеграле. Вычисление площадей
1. Функция
∫
=
x
a
dttfxS )()( называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Аргументом этой функции является верхний предел интегрирования, а переменной интегрирования является
t
(рис.
9.1).
2. Геометрический смысл функции
∫
=
x
a
dttfxS )()( при условии 0)( ≥xf заключается в том, что ее значение )(xS рав-
няется площади фигуры, заштрихованной на рис. 9.1. Поэтому справедливы такие соотношения:
∫∫
===
b
a
b
a
dxxfdttfbSaS )()()(,0)( .
3. Основная теорема. Пусть функция )(xf непрерывна на ],[ ba . Тогда значение производной функции
∫
=
x
a
dttfxS )()( в
каждой точке ],[ bax ∈ равно значению подынтегральной функции )(xf , т.е. )()(' xfxS
=
и,
Рис. 9.1
Рис. 9.2
таким образом, )(xS – одна из первообраз-
ных функции )(xf .
Доказательство: Имеем (рис. 9.2):
∫
∫∫
∆+
→∆
∆+
←∆
→∆
=
∆
=
=
−
∆
=
=
∆
∆
=
xx
x
x
xx
a
x
a
x
x
dttf
x
dttfdttf
x
x
xS
xS
)(
1
lim
)()(
1
lim
)(
lim)('
0
0
0
)())((
1
lim
0
xfxxxf
x
x
=−∆+ξ
∆
=
→∆
,
так как
)(xf – непрерывна.
4. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть
функция
)(xfy = непрерывна на отрезке
],[ ba и )(xF – любая ее первообразная на
этом отрезке. Тогда определенный интеграл
от функции
)(xf на отрезке ],[ ba вычисля-
ется по формуле
∫
≡−=
b
a
b
a
xFaFbFdxxf )()()()( .
Доказательство:
Пусть
∫
=
x
a
dttfxS )()(
и )(xF две первообразные функции для )(xf . Тогда CxFxS +
=
)()( или
∫
∈+=
x
a
baxCxFdttf ].,[,)()( (9.1)
При a
x
= формула (9.1) принимает вид:
∫
+=
a
a
CaFdttf )()( , откуда )(aFC
−
=
, так как интеграл равен нулю; при
bx =
имеем:
∫
−=+=
b
a
aFbFCbFdttf )()()()(
.
y
a
x
ξ
x
+∆х b
∆
S
(
x
)
=
(ξ)
∆
x
y
F(x)
S
aACx
=
S
(
x
)
a
x
b
y
=
f
(
t
)
А
С
t
t

Страницы