Высшая математика. Пучков Н.П. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 10
Числовые ряды, основные понятия. Необходимое условие сходимости ряда; достаточные условия сходимости: срав-
нения, Даламбера
1. Пусть задана числовая последовательность ...,...,,,
21 n
aaa . Числовым рядом называется выражение
∑
∞
=
=++++
1
21
......
n
nn
aaaa
.
(10.1)
Числа ...,,
21
aa называются членами ряда;
n
a – общим (или n-м) членом ряда.
2. Ряд считается заданным, если задана числовая последовательность ...,...,,,
21 n
aaa т.е. если известен его общий
член )(nfa
n
= .
3. Сумма первых п членов ряда (10.1) называется n-й частичной суммой ряда:
nn
aaaS ++
+
=
...
21
. Числовые последова-
тельности ,
1
S
212
aaS += , ,
3213
aaaS +
+
= и т.д. называются последовательностью частичных сумм.
4. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм: SS
n
n
=
∞→
lim . В
этом случае число S называется суммой ряда:
∑
∞
=
=
1n
n
aS . Ряд называется расходящимся, если предел
n
n
S
∞→
lim
не существует.
5. Рассмотрим ряд геометрической прогрессии
......
12
+++++
−n
aqaqaqa .
Он сходится при 1<q и расходится при 1>q . При 1<q
q
a
S
n
n
−
=
∞→
1
lim
.
6. Пусть ряд
∑
∞
=
1n
n
a сходится, а его сумма равна S. Тогда ряд
∑
∞
=
1n
n
ka также сходится, а его сумма равна
kS
.
7. Если ряды
∑
∞
=
1n
n
a и
∑
∞
=
1n
n
b сходятся и их суммы соответственно равны
1
S и
2
S , то и ряд
∑
∞
=
+
1
)(
n
nn
ba , являющийся
суммой данных рядов, сходится, и его сумма равна
21
SS
+
.
8. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из исходного добавлением или отбрасыванием конечного числа
членов.
9. Ряд, полученный из исходного отбрасыванием его первых п членов, называется n-м остатком ряда:
∑
∞
+=
+++
=+++=
1
21
......
nk
kmnnnn
aaaar .
10. Сумму любого числового ряда можно представить в виде
nn
rSS
+
=
.
11. Для того чтобы числовой ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при ∞→n остаток ряда
n
r стремился к
нулю:
0lim =
∞→
n
n
r
.
12. (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд
∑
∞
=
1n
n
a сходится, то
0lim
=
∞→
n
n
a
. Следствие (достаточное условие
расходимости ряда). Если предел n-го члена ряда при
∞
→n не равен нулю или не существует, то ряд расходится.
13. (Первый признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами:
∑∑
∞
=
∞
=
11
,
nn
nn
ba . Если
nn
ba
≤
<
0 начи-
ная с некоторого номера
0
n и ряд
∑
∞
=
1n
n
b сходится, то сходится и ряд
∑
∞
=
1n
n
a . Если ряд
∑
∞
=
1n
n
a расходится, то расходится и ряд
∑
∞
=
1n
n
b .

Страницы