Высшая математика. Пучков Н.П. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

14. (Второй признак сравнения, предельный). Пусть даны два ряда с положительными членами
∑
∞
=
1n
n
a и
∑
∞
=
1n
n
b . Если
существует конечный и отличный от нуля предел
n
n
b
a
n
∞→
lim , то ряды
∑
∞
=
1n
n
a и
∑
∞
=
1n
n
b сходятся или расходятся одновременно.
Существует доказательство, что
∑
∞
=
1
1
n
k
n
сходится при 1>k и расходится при 1
≤
k . Этот факт можно использовать при
исследовании сходимости числовых рядов.
15. (Признак Даламбера). Если ряд
∑
∞
=
1n
n
a знакоположительный и если
r
a
a
n
n
n
=
+
∞→
1
lim
, то этот ряд
∑
∞
=
1n
n
a сходится при
1<
r
. Если же
r
> 1, то ряд
∑
∞
=
1n
n
a расходится. Если 1
=
r
, то вопрос о сходимости остается открытым.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие числовые ряды:
1.
∑
∞
=
+
+
1
1
3
n
n
n
. Имеем 01
1
2
1lim
1
3
lim ≠=
+
+=
+
+
∞→∞→
nn
n
nn
. Ряд расходится.
2.
∑
∞
=
1
2
2
n
n
n
. По признаку Даламбера
2
1
2
1)1(
lim
2
:
2
)1(
limlim
2
22
1
2
1
=⋅
+
=
+
==
∞→
+
∞→
+
∞→
n
nnn
a
a
r
n
nn
n
n
n
n
.
Ряд сходится.
3. Исследовать на сходимость ряд:
∑
∞
=
+
1
2
1
n
n
n
. Имеем: 0
1
lim
2
=
+
∞→
n
n
n
.
(Необходимый признак выполняется).
Сравним этот ряд с рядом
∑
∞
=
1
1
n
n
.
01
1
lim
1
:
1
lim
2
2
2
≠=
+
=
+
∞→∞→
n
n
n
n
n
nn
. Так как ряд
∑
∞
=
1
1
n
n
расходится, то исходный ряд расходится.

Страницы