Высшая математика. Пучков Н.П. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

9. (Теорема Абеля). Если степенной ряд
∑
∞
=
0n
n
n
xc сходится в точке 0
≠
=
ax , то он сходится, и притом абсолютно, при
всяком
x
, удовлетворяющем условию ax < .
10. Следствие. Если степенной ряд расходится при a
x
=
, то он расходится при всех таких значениях
x
, что ax > .
11. Радиусом сходимости степенного ряда
∑
∞
=
0n
n
n
xc называется такое число R, что при всех значениях x, удовлетворяю-
щих условию
,Rx <
степенной ряд сходится, а для всех x, удовлетворяющих условию
,Rx >
ряд расходится. Интервал
),( RR− называется интервалом сходимости степенного ряда.
12. Ряд
∑
∞
=
0n
n
n
xc сходится абсолютно при любом x, удовлетворяющем условию ,Rx < где
1
lim
+
∞→
=
n
n
n
c
c
R
.
13. Степенной ряд
∑
∞
=
0n
n
n
xc можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при
),( RRx −∈ ). Пусть ),( RRx −∈ и )(
0
xSxc
n
n
n
=
∑
∞
=
. Тогда
)('......32
12
321
xSxncxcxcc
n
n
=+++++
−
;
()
∫∫
=+++++
xx
n
n
dxxSdxxcxcxcc
00
2
210
)(...... .
14. Рядом Тейлора функции )(xf в окрестности точки
0
x называется степенной ряд
...)(...)()(
0
2
02010
+−++−+−+
n
n
xxcxxcxxcc
, коэффициенты которого
n
c вычисляются по формулам
,...
!
)(
,...,
!2
)("
),('),(
0
)(
0
20100
n
xf
c
xf
cxfcxfc
n
n
====
В частном случае 0
0
=x ряд Тейлора называют рядом Маклорена.
15. Ряды Тейлора используются для приближенного вычисления значений функций в любой точке его области сходи-
мости.
16. Ряды Маклорена для функции
mx
xxxxe )1(),1(ln,sin,cos, ++ имеют вид:
),(...,
!
...
!2
1
2
∞−∞∈+++++= x
n
xx
xe
n
x
;
),(...,
)!2(
)1(...
!4!2
1cos
242
∞−∞∈+−+++−= x
k
xxx
x
k
k
;
),(...,
)!21(
)1...(
!5!3
sin
2153
∞−∞∈+
+
−++−=
+
x
k
xxx
xx
k
k
;
]1,1(...,
!
)1(...
32
)1(ln
1
32
−∈+−+++−=+
+
x
n
xxx
xx
n
n
;
...
!
)1)...(1(
...
!2
)1(
1)1(
2
+
+−−
++
−
++=+
nm
x
n
nmmm
x
mm
mxx ;
[]
(
)
.0,1,1;0,1,1
<
−
∈
>−∈ mxmx

Страницы