Высшая математика. Пучков Н.П. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 11
Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды. Функциональные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена
Если сходится ряд
∑
∞
=
1n
n
a , то сходится и ряд .
1
∑
∞
=
n
n
a
Если сходится ряд
∑
∞
=
1n
n
a , то ряд
∑
∞
=
1n
n
a называется абсолютно сходящимся. Если ряд
∑
∞
=
1n
n
a сходится, а ряд
∑
∞
=
1n
n
a
расходится, то такой ряд называется условно сходящимся.
3. Условно сходящиеся ряды весьма «капризны»: перестановка их членов может давать другие суммы.
Пример
∑
∞
=
+
+
−−=−+−+−+−+−==−
1
1
4
1
2
1
1...
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
)1(
n
n
S
n
=+
−−+
−−+
−−+ ...
16
1
14
1
7
1
12
1
10
1
5
1
8
1
6
1
3
1
S
2
1
...
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
2
1
=
+−+−+−+−=
.
Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то в результате перестановки его членов можно получить любую сумму и
даже расходящийся ряд.
Под знакочередующимся рядом понимается ряд, у которого соседние члены имеют разные знаки. Знакочередующийся
ряд можно записать так:
n
n
n
a
∑
∞
=
+
−
1
1
)1( где 0>
n
a .
4. (Признак Лейбница). Пусть дан знакочередующийся ряд
∑
∞
=
+
−
1
1
)1(
n
n
n
a , причем: 1) ...;...
321
≥≥≥≥≥
n
aaaa
2)
0lim =
∞→
n
n
a
. Тогда этот ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, т.е.
1
0 aS ≤
<
.
5. Следствие. Абсолютная величина остатка знакочередующегося ряда не превосходит абсолютную величину первого
отброшенного члена исходного ряда:
1+
≤
nn
ar .
Пример. Исследовать ряд на сходимость
∑
∞
=
+
++
−
1
1
11
)1(
n
n
n
.
Решение. Имеем:
1)
0
11
1
lim =
++
∞→
n
n
;
2)
111
1
11
1
+++
>
++ nn
при любом n , следовательно (по признаку Лейбница) ряд сходится.
6. Пусть в некоторой области D заданы функции
)(...,),(),(
21
xuxuxu
n
, … .
Выражение
∑
∞
=
1
)(
n
n
xu называется функциональным рядом.
7. Если числовой ряд
∑
∞
=
1
0
)(
n
n
xu сходится, то точка
0
xx
=
называется точкой сходимости ряда
∑
∞
=
1
)(
n
n
xu . Совокупность
всех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью его сходимости.
8. Функциональный ряд вида
...)(...)()(
0
2
02010
n
n
xxcxxcxxcc −++−+−+
,
где
...,...,,,
10 n
ccc – постоянные числа, называется степенным рядом.

Страницы