Высшая математика. Пучков Н.П. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5. Метод замены переменной. Пусть функция )(tx
ϕ
=
имеет непрерывную производную на отрезке [
β
α
, ], причем
ba =
β
ϕ
=α
ϕ
)(,)( . Пусть функция )(xf непрерывна в каждой точке )(tx
ϕ
=
, где
],[
β
α
∈
t
. Тогда справедливо следующее
равенство
∫∫
β
α
ϕϕ=
b
a
dtttfdxxf )('))(()( .
6. Если отрезок интегрирования симметричен относительно начала координат, а подынтегральная функция нечетная, то
интеграл равен нулю.
Если же подынтегральная функция четная, то
∫∫
−
=
b
b
b
dxxfdxxf
0
)(2)( .
7. Интегрирование по частям. Пусть функции )(xuu
=
и )(xvv
=
имеют непрерывные производные на отрезке ],[ ba .
Тогда
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv ;
где )()()()( avaubvbuuv
b
a
−= .
8. Пусть на плоскости Oxy (рис. 9.3) за-
дана фигура, координаты каждой точки ко-
торой удовлетворяют двойным неравенствам
bxa ≤≤ и )()( xgyxf ≤≤ . Тогда площадь
этой фигуры вычисляется по формуле
()
∫
−=
b
a
dxxfxgS )()(
.
Рис. 9.3
Пример 9.1. Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями
||,2
2
xyxy =−= (рис. 9.4).
Фигура симметрична относи-
тельно оси OY, поэтому достаточно
найти площадь половины фигуры,
расположенной в первой четверти.
Координаты точки В найдем из сис-
темы уравнений
Рис. 9.4
=
−=
xy
xy
2
2
: В(1,1);
6
1
1
2
1
3
1
2
23
2)2(
1
0
1
0
23
2
=−−=
−−=−−=
∫
xx
xdxxxS
(квадратных единиц).
Площадь искомой фигуры
3
1
22 =
S (квадратных единиц).
А
1
1
y=2–x
2
2
2
–1
–2
В
y=|x|
0
y
х
bа
f(х)
g(х)

Страницы