Высшая математика. Пучков Н.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Лекция 4
Основы интегрального исчисления.
Неопределенный интеграл и его свойства
В математике, часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно: да-
на функция
)(xfy = , найти функцию )(xFy = такую, что )()(' xfxF
=
, т.е. по производной находят первоначальную
функцию.
Определение 4.1. Дифференцируемая функция )(xF называется первообразной функции )(xf на заданном интервале
),,( ba или в каждой точке
x
этого интервала, если )()(' xfxF
=
.
Пример 4.1. Пусть
,cos)( xxf = тогда за первообразную можно взять ,sin)( xxF
=
поскольку xx cos)'(sin = .
Пример 4.2. Пусть
2
)( xxf = , тогда можно положить
3
)(
3
x
xF
= , поскольку
2
23
3
3
3
x
xx
==
′
.
Заметим, что в примере 4.1. мы могли вместо первообразной
xsin
взять, например,
1sin)(
1
+
=
xxF , или
100sin)(
2
−= xxF , поскольку xx cos)'1(sin =+ и xx cos)'100(sin
=
−
.
Теорема 4.1. (Об общем виде первообразной). Если
)(xF первообразная для функции )(xfy = на множестве Х (на-
пример, на интервале
),( ba ), то все первообразные для функции )(xf имеют вид CxF
+
)( , где C – произвольная постоян-
ная.
Доказательство. Дано:
)()(' xfxF
=
, тогда и
()
)(')( xfCxF
=
+
.
С другой стороны, если
)(
1
xF также первообразная, то
(
)
(
)
)(')(')(
1
xfxFxF
=
=
и
[
]
0')()(
1
=− xFxF . Таким образом
CxFxF =− )()(
1
или CxFxF
+
= )()(
1
.
Эта теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления.
Определение 4.2. Если )(xF – первообразная для )(xf , то выражение CxF
+
)( , где C – произвольная постоянная,
называется неопределенным интегралом от функции
)(xf .
Теорема 4.2. (Существования). Для всякой непрерывной функции существует неопределенный интеграл.
Неопределенный интеграл от функции
)(xf обозначается так:
∫
dxxf )( (читается «интеграл эф от икс дэ икс»). При
этом символ
∫
называется знаком неопределенного интеграла; )(xf – подынтегральной функцией; dxxf )( – подынте-
гральным выражением, а процесс нахождения первообразной функции
)(xF называется интегрированием.
Таким образом, если
)(xF – одна из первообразных для )(xf , то CxFdxxf +=
∫
)()( .
График первообразной
)(xF называется интегральной кривой. Неопределенный интеграл представляет собой множест-
во всех интегральных кривых, каждая из которых сдвинута относительно графика функции
)(xFy = вверх или вниз в зави-
симости от знака постоянной
C .
Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию, поэтому, как всякая обратная операция, интегри-
рование – более сложное действие, чем дифференцирование.
Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от полученного резуль-
тата и убедиться, что получена подынтегральная функция. Например:
∫
+= C
x
dxx
3
3
2
, так как
2
3
3
xC
x
=
′
+ , то интегрирование выполнено верно.
Учитывая это обстоятельство, можно составить Таблицу неопределенных интегралов.
1.
∫
+= Cxdx ;
2.
;1,
1
1
−≠+
+
=
∫
+
aC
a
x
dxx
a
a
3.
∫
+= ;ln Cx
x
dx
4.
∫
≠>+= ;1,0,
ln
aaC
a
a
dxa
x
x
5.
∫
+= ;sincos Cxxdx 6.
∫
+−= ;cossin Cxxdx
7.
∫
+= ;
cos
2
Ctgx
x
dx
8.
∫
+−= ;ctg
sin
2
Cx
x
dx
9.
∫
+=
+
;arctg
1
22
C
a
x
a
x
a
dx
10.
∫
+
=
−
;arcsin
22
C
a
x
xa
dx
11.
;ln
2
1
22
C
ax
ax
а
ax
dx
+
+
−
=
−
∫
12.
.ln
2
2
∫
+±+=
±
Caxx
ax
dx

Страницы