Высшая математика. Пучков Н.П. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если dyfdxfdz
yx
''
+= дифференциал первого порядка функции ),( yxfz
=
, то zddzd
2
)( = – дифференциал второго
порядка.
Очевидно, что
=+++== dydyfdxfdxdyfdxfdzdzd
yyxxyx
''''''2
)()()(
dxdyfdxf
xyxx
"2"
2+=
2"
dyf
yy
+ .
Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.
Пример 2.2. Найти производную функции
yxyxz −+= 2
2
в точке )1,2(
0
M в направлении к точке )4,6(M . Чему равен
модуль градиента функции
z
в точке
0
M ?
Имеем: направляющий вектор
;5||,34
0
=+== sjiMMs
.6,0cos;8,0cos
=
β
=
α
;6)22(
0
0
=+=
∂
∂
M
M
yx
x
z
.3)12(
0
0
=−=
∂
∂
M
M
x
y
z
6,66,038,06 =⋅+⋅=
∂
∂
s
z
. 534536
22
0
==+=
M
zgrad .
Пример 2.3. Доказать, что если
x
y
z arctg=
, то
yx
z
y
z
x
z
∂∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
2
2
2
.
Имеем:
22222
1
1
yx
y
x
y
xy
x
z
+
−=
−
+
=
∂
∂
;
22
yx
x
y
z
+
=
∂
∂
.
222
22
222
2222
)()(
2
yx
xy
yx
yyx
x
z
yyx
z
+
−
=
+
−+
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
.
Таким образом
222
22
2
2
)( yx
xy
y
z
x
z
+
−
=
∂
∂
−
∂
∂
.

Страницы