Высшая математика. Пучков Н.П. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

222
2)( xyxxyyxyxxz
x
∆+∆=−∆+=∆ ;
yxyxyyxz
y
∆=−∆+=∆
222
)(.
Для рассмотренного примера
zzz
yx
∆+∆≠∆
. Для линейной функции cbyaxz
+
+
=
:
zzybxaz
yx
∆+∆=∆+∆=∆
.
Определение 1.7. Частными производными
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
функции ),( yxfz
=
в точке ),(
000
yxM называются пределы
(если они существуют)
0
0
lim
M
x
x
x
z
x
z
∆
∆
=
∂
∂
→∆
и
0
0
lim
M
y
y
y
z
y
z
∆
∆
=
∂
∂
→∆
.
Кроме указанных обозначений используются также
x
z
′
и
y
z
′
. Приведем пример нахождения частных производных.
Пусть, по-прежнему,
yxz
2
= .
xyxyxy
x
xyxxy
z
x
z
xx
x
2)(lim
2
lim
0
2
0
=∆+=
∆
∆+∆
=
′
=
∂
∂
→∆→∆
;
.limlim
22
0
2
0
xx
y
yx
z
y
z
yy
y
==
∆
∆
=
′
=
∂
∂
→∆→∆
Справедливо следующее правило нахождения частных производных: в процессе нахождения частной производной по
x
переменная y предполагается постоянной; аналогично при нахождении частной производной по y переменная
x
пред-
полагается постоянной (только в процессе!).
Пример 1.2.
5
32
−+= yyxz .
;2002)5()()(
32
xyxyyxyz
xxxx
=⋅+=
′
−
′
+
′
=
′
.303)5()()(
222232
yxyxyyxz
yyyy
+=−+=
′
−
′
+
′
=
′
Определение 1.8. Функция ),( yxfz
=
называется дифференцируемой в точке ),(
000
yxM , если существуют такие два
числа
A
и B , что полное приращение функции ),(),(
0000
yxfyyxxfz
−
∆
+
∆
+
=
∆ в точке ),(
000
yxM можно представить в
виде
,),(),(
21
yyxxyxyBxAz
∆
∆
∆
ε
+
∆
∆
∆
ε
+
∆
+∆=∆
где
0),(lim
1
0
0
=∆∆ε
→∆
→∆
yx
y
x
, 0),(lim
2
0
0
=
∆
∆ε
→∆
→∆
yx
y
x
– бесконечно малые функции своих аргументов.
Определение 1.9. Если функция ),( yxfz = дифференцируема в точке ),(
000
yxM , то линейная функция
yBxA
∆
+
∆
(линейная, главная часть приращения
∆ ) называется полным дифференциалом, или просто дифференциалом этой функ-
ции в точке ),(
000
yxM и обозначается yBxAdz
∆
+∆= .
Функция, дифференцируемая в точке
0
M , непрерывна в этой точке.
Выражения
xAzd
x
∆= и
yBzd
y
∆
=
называются, соответственно, частными дифференциалами функции
по перемен-
ной
x
и по переменной y , при этом dxx =∆ и
dyy
=
∆
.
Теорема 1.1. Если функция
),( yxfz = дифференцируема в точке ),(
000
yxM , причем ее дифференциал равен
yBxAdz ∆+∆= , то в этой точке существуют частные производные:
A
x
z
=
∂
∂
и
B
y
z
=
∂
∂
.
Теорема 1.2. (условие дифференцируемости). Если функция
),( yxfz
=
имеет в некоторой окрестности точки
),(
000
yxM частные производные
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, которые непрерывны в точке ),(
000
yxM , то ),( yxfz = дифференцируема в
этой точке.

Страницы