ВУЗ:
Составители:
∫
=
b
a
dxxfI )(
.
Один из способов решения такой задачи – это замена подынтегральной функции
)(xf каким-либо интерполяционным
многочленом и получение квадратурных формул вида
∑
=
+=
∫
n
i
ii
b
a
RxfAdxxf
1
)()( ,
где
i
x – выбранные узлы интерполирования; )(
i
xf – значение функции в узлах интерполирования;
i
A – коэффициенты,
зависящие от выбора узлов интерполирования (от вида функций не зависит);
R – остаточный член.
При равноотстоящих узлах интерполирования квадратурные формулы называются формулами Ньютона-Котеса. Такие
формулы различаются степенями используемых интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами
высоких степеней, обычно разбивают промежуток интерполирования на отдельные участки, а потом складывают
полученные результаты, что даёт так называемые составные формулы.
Разобьём интервал интегрирования
[]
ba, на п равных частей системой точек:
ihxx
i
+
=
0
),0( ni = ;
ax =
0
; bx
n
=
; nabh /)(
−
=
; )(
ii
xfy
=
.
Используя интерполяцию многочленом нулевой, первой и второй степени, получим соответственно формулы
прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).
Формула прямоугольников. Если считать, что подынтегральная функция на каждом элементарном участке
интегрирования постоянна и равна значению
const)(
=
xf на одном из концов участка, то получим формулу правых или
левых прямоугольников.
Формула прямоугольников:
правых –
∑
=
=
∫
n
i
b
a
i
xhfdxxf
1
)()( ; левых –
∑
=
=
∫
n
i
b
a
i
xhfdxxf
0
)()( .
Если в качестве значения функции принимать её значение в середине интервала интегрирования, получим
модифицированную формулу прямоугольников:
∑
−
=
+=
∫
1
0
)2/()(
n
i
b
a
h
i
xhfdxxf .
Остаточный член во всех этих формулах имеет первый порядок, т.е. пропорционален первой производной
)(xf
′
.
Геометрическая интерпретация методов прямоугольников заключается в том, что площадь под интегральной кривой
заменяется суммой площадей прямоугольников.
Формула трапеций. При интерполировании кривой
)(xf линейной функцией получаем формулу трапеции:
=−
++++
+
=
∫
b
a
n
n
Ryyy
yy
hdxxf ...
1
)(
21
0
Ry
yy
h
n
i
i
n
−
+
+
∑
−
=
1
1
0
2
,
где
)(
12
)(
2
sf
hab
R
′′
−
=
,
[]
bas ,∈ – остаточный член.
Формула трапеций даёт точное значение интервала, когда подынтегральная функция линейна, так как при этом
0)( =
′′
xf .
Геометрически формула трапеций осуществляет замену площади под подынтегральной кривой суммой площадей
трапеций, высоты которых совпадают со значениями функции
)(xf в точках
i
x , ni ,1= .
Формула Симпсона (парабол). Получается при замене подынтегральной функции
)(xf параболами,
совпадающими с функцией
)(xf в т тройках соседних точек, mn 2
=
:
()(
++++++=
∫
−
b
a
mm
yyyyy
h
dxxf
224220
...2
3
)(
())
Ryyy
m
−++++
−1231
...4 ,
где
)(
180
)(
4
sf
hab
R
′′′′
−
=
,
[]
bas ,∈ – остаточный член.
Формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени включительно, так как в таких случаях
0)( =
′′′′
xf .
Как правило, более точная интерполяционная формула позволяет получить более точный результат при одинаковом
числе точек интегрирования, поэтому на практике наиболее часто используется формула Симпсона. Если же и она не даёт
приемлемой точности, то используется более сложная формула Ньютона (правило трёх восьмых), в которой число
интервалов интегрирования должно быть кратно трём.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
