ВУЗ:
Составители:
),(
2
),(
2
)(
э
111 +++
⋅+⋅+=
iiiiii
yxf
h
yxf
h
xyy
Точность метода определяется отброшенными членами ряда Тейлора (4), т.е. точность уточненного или
модифицированного метода Эйлера на каждом шаге
3
h≈ .
Метод Рунге–Кутта четвертого порядка
Самое большое распространение из всех численных методов решения дифференциальных уравнений с помощью
ЭВМ получил метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
В этом методе на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений искомая функция
y(x)
аппроксимируется рядом Тейлора (4), содержащим члены ряда с
h
4
:
...)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()(
)4(
432
++
′′′
+
′′
+
′
⋅+=+
iiiiii
xy
h
xy
h
xy
h
xyhxyhxy .
В результате ошибка на каждом шаге имеет порядок h
5
.
Для сохранения членов ряда, содержащих
h
2
, h
3
, h
4
, необходимо определить вторую y″, третью y′′′ и четвертую
y
(4)
производные функции y(x). Эти производные аппроксимируем разделенными разностями второго, третьего и
четвертого порядков, соответственно.
В результате для получения значения функции
y
i+1
по методу Рунге–Кутта выполняется следующая
последовательность вычислительных операций:
.6)22(
;),2(
;)2,2(
;)2,2(
;),(
43211
34
23
12
1
TTTTyy
TyhxfhT
TyhxfhT
TyhxfhT
yxfhT
ii
ii
ii
ii
ii
++++=
++⋅=
++⋅=
++⋅=
⋅=
+
Методы Рунге–Кутта относятся к так называемым одношаговым методам, поскольку для вычисления значения
функции y(x) в точке x
i + 1
требуется знать только значение функции y(x) в одной предыдущей точке x
i
.
Многошаговые методы построены путем интерполирования по нескольким соседним точкам; для их использования
необходимо знать значение функции y(x) в нескольких предыдущих точках.
Эти методы численного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка были разработаны Адамсом
в 1855 году.
Достоинство многошаговых методов состоит в том, что независимо от порядка метода для вычисления значения
функции y(x) в одной точке требуется один раз вычислить функцию f (x, y).
Метод Адамса второго порядка записывается следующим образом:
2)3(
11 −+
′
−
′
+
=
iiii
yyhyy ,
где
),(
iii
yxfy =
′
.
Методы Адамса третьего и четвертого порядков имеют вид:
12)51623(
211 −−+
′
−
′
−
′
⋅
+
=
iiiii
yyyhyy ;
24)9375955(
3211 −−−+
′
−
′
+
′
−
′
⋅
+
=
iiiiii
yyyyhyy .
Метод Рунге–Кутта четвертого порядка и метод Адамса четвертого порядка имеют одинаковую погрешность, но
метод Адамса требует примерно вчетверо меньшего объема вычислений.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
2.
С помощью моделирующей программы решить указанное в задании дифференциальное уравнение по трем
различным методам с одинаковым значением шага. Варианты заданий выбрать из табл. 5.1.
3.
Пользуясь моделирующей программой, решить дифференциальное уравнение одним из исследуемых методов
при разных значениях шага.
