Численные методы в задачах управления. Путин С.Б - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если функция у зависит от нескольких аргументов, то такое дифференциальное уравнение называется
дифференциальным уравнением в частных производных.
Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения
),( yxfy
=
′
является семейство функций у =
у
(х, с), рис. 5.1.
Рис. 5.1
При решении прикладных задач ищут частные решения дифференциальных уравнений. Выделение частного
решения из семейства общих решений осуществляется с помощью задания начальных условий:
0
0
yy
xx
=
=
, (3)
т.е. начальной точки с координатами (х
0
, у
0
).
Нахождение частного решения дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию
называется задачей Коши.
В численных методах задача Коши ставится следующим образом: найти табличную функцию
nixfy
ii
,1),( ==
которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению (2) и начальному условию (3) на отрезке
[a, b] с
шагом h.
На графике (рис. 5.2) решение задачи Коши численными методами представляется в виде совокупности узловых
точек с координатами
(x
i
, y
i
), ni ,1= .
Рис. 5.2
Наиболее эффективными и часто встречаемыми методами решениями задачи Коши являются методы Рунге–Кутта.
Они основаны на аппроксимации искомой функции
у(х) в пределах каждого шага многочленом, который получен при
помощи разложения функции
у(х) в окрестности шага h каждой i-й точки в ряд Тейлора:
...)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()()(
)4(
432
++
′′′
+
′′
+
′
⋅+=+
iiiiii
xy
h
xy
h
xy
h
xyhxyhxy . (4)
Усекая ряд Тейлора в различных точках и отбрасывая правые члены ряда, Рунге и Кутт получали различные методы
для определения значений функции
у(х) в каждой узловой точке. Точность каждого метода определяется
отброшенными членами ряда.
Метод Рунге–Кутта первого порядка (метод Эйлера)
Отбросим в (4) члены ряда, содержащие
h
2
, h
3
, h
4
, … . Тогда )()()(
iii
xyhxyhxy
′
⋅
+=+ , так как
),()(
iii
yxfxy =
′
. Получим формулу Эйлера:
),()(
1 iiii
yxfhxyy
⋅
+
=
+
. (5)
Так как точность методов Рунге–Кутта определяется отброшенными членами ряда (4), то точность метода Эйлера на
каждом шаге составляет
2
h≈ .
Рассмотрим геометрический смысл метода Эйлера.
Формула Эйлера имеет вид
),()(
1 iiii
yxfhxyy
⋅
+
=
+
,
где
iiii
xyyxf α=
′
= tg)(),( .
Тогда формула Эйлера принимает вид
X
x
3
… x
n
(x
i
, y
i
)

Страницы