ВУЗ:
Составители:
i1
tg
α
⋅
+
=
+
hyy
ii
,
где
i
αtg – тангенс угла наклона касательной к искомой функции у(x) в начальной точке каждого шага.
В результате в методе Эйлера на графике (рис. 5.3) вся искомая функция
y(x) на участке [a, b]
аппроксимируется ломаной линией, каждый отрезок которой на шаге h линейно аппроксимирует искомую функцию.
Поэтому метод Эйлера получил еще название метода ломаных.
Рис. 5.3
В методе Эйлера наклон касательной в пределах каждого шага счи-
тается постоянным и равным значению производной в начальной точке шага
x
i
. В действительности производная, а,
значит, и тангенс угла наклона касательной к кривой
y(x) в пределах каждого шага меняется. Поэтому в точке x
i
+ h
наклон касательной не должен быть равен наклону в точке
x
i
. Следовательно, на каждом шаге вносится погрешность.
Первый отрезок ломаной действительно касается искомой интегральной кривой
y(x) в точке (x
0
, y
0
). На
последовательных же шагах касательные проводятся из точек
(x
i
, y
i
), подсчитанных с погрешностью. В результате с
каждым шагом ошибки накапливаются.
Основной недостаток метода Эйлера – систематическое накопление ошибок. Поэтому метод Эйлера рекомендуется
применять для решения дифференциальных уравнений при малых значениях шага интегрирования h.
Метод Рунге–Кутта второго порядка (модифицированный метод Эйлера)
Отбросим в (4) члены ряда, содержащие
h
3
, h
4
, h
5
, … . Тогда
)(
!2
)()()(
2
iiii
xy
h
xyhxyhxy
′′
+
′
⋅+=+
. (6)
Чтобы сохранить член ряда, содержащий h
2
, надо определить вторую производную y"(x
i
). Ее можно
аппроксимировать разделенной разностью 2-го порядка
h
xyhxy
x
y
xy
ii
i
)()(
)(
′
−
+
′
=
∆
′
∆
=
′′
.
Подставляя это выражение в (6), получим
)(
2
)(
2
)(
)()(
2
)()()(
2
hxy
h
xy
h
xy
h
xyhxy
h
xyhxyhxy
iii
ii
iii
+
′
+
′
+=
′
−+
′
+
′
+=+ .
Окончательно, модифицированная или уточненная формула Эйлера имеет вид
),(
2
),(
2
)(
111 +++
⋅+⋅+=
iiiiii
yxf
h
yxf
h
xyy . (7)
Как видно, для определения функции y(x) в точке i + 1 необходимо знать значение правой части
дифференциального уравнения
f (x
i + 1
, y
i + 1
) в этой точке, для определения которой необходимо знать
предварительное значение
y
i + 1
.
Для определения предварительного значения
y
i + 1
воспользуемся формулой Эйлера. Тогда все вычисления на
каждом шаге по модифицированной или уточненной формуле Эйлера будем выполнять в два этапа:
На первом этапе вычисляем предварительное значение
э
1+i
y по формуле Эйлера:
),(
э
1 iiii
yxfhyy ⋅+=
+
.
На втором этапе уточняем значение y
i +1
по модифицированной или уточненной формуле Эйлера:
y
2
y
3
y
n
x
3
x
2
…
x
n
= b
α
2
α
3
