Численные методы в задачах управления. Путин С.Б - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Как известно, уравнение касательной к кривой )(xfy
=
в точке
(
)
)(, tft имеет вид ))(()( txtftfy
−
′
=−
.
Следовательно, уравнения касательных в точках
А и В имеют вид )()()( axafafy −
⋅
′
=
−
, )()()( bxbfbfy
−
⋅
′
=− .
Положив
0=y и
c
x
=
, определим абсциссу точки пересечения касательной с осью ОХ:
)('
)(
af
af
ac −=
или
)(
)(
bf
bf
bc
′
−=
.
Точка с будет первым приближением к корню, поэтому обозначим ее х
1
. Очевидно, что точка
(
)
0,
1
x будет
находиться со стороны выпуклости кривой
)(xfy
=
. Точка х
1
разделит отрезок
[
]
ba, на два отрезка
[
]
1
, xa и
[
]
bx ,
1
,
один из которых содержит корень. Если
0)()( >
′
′
′
xfxf
, это будет отрезок
[
]
1
, xa , т.е. касательная проводится к точке В, а
при
0)()( <
′′′
xfxf получим отрезок ],[
1
bx , т.е. касательная проводится к точке А. Определив новый отрезок, повторим
процедуру, причем касательную проведем в точке
(
)
)(,
11
xfx и получаем новую точку х
2
:
)(/)(
1112
xfxfxx
′
−
=
.
Далее находим второе, третье и последующие приближения по итерационной формуле
)(/)(
11 iii
xfxfxx
′
−
=
+
.
Процесс прекращается тогда, когда разность между двумя последними приближениями будет меньше заданного
числа
0>ε , т.е. ε<−
+ ii
xx
1
.
Метод секущих. В методе касательных для нахождения каждого нового приближения корня необходимо
вычислять не только значения функции
)(xf , но и ее производную )(xf
′
, что не всегда возможно, поскольку функция
)(xf не обязательно должна быть задана в виде аналитического выражения. Например, )(xf может быть получена в
результате решения какого-то дифференциального уравнения, или системы уравнений. Для преодоления этого
препятствия можно заменить значения производной в методе касательных отношением конечных разностей в
окрестности рассматриваемой точки, т.е. использовать приближенное равенство
h
hxfxf
hxx
hxfxf
dx
xdf
)()(
)(
)()()(
+
−
=
+−
+
−
=
,
где h – некоторая малая величина.
Геометрически это означает, что через рассматриваемую точку будет проводиться не касательная, а секущая (рис.
1.5).
Y
B
0 x
*
x x + h X
A
Рис. 1.5
Поэтому данный метод называется методом секущих. Итерационная формула будет аналогична методу касательных:
)()(
)(
1
hxfxf
hxf
xx
ii
i
ii
−−
⋅
−=
+
.
При использовании этого метода следует уменьшать величину h по мере приближения к корню.
Метод простых итераций. Рассмотрим уравнение
)(xgx
=
. Это уравнение может быть получено из
уравнения
0)( =xf путем прибавления к обоим членам х и заменой )()( xfxxg
+
=
, т.е. корень уравнения )(xgx
=
совпадает с корнем уравнения
0)( =xf .
Пусть
[]
ba, – отрезок, отделяющий корень
*
x , т.е. )(
**
xgx = . Выберем произвольную точку
[]
bax ,
0
∈ и вычислим
значение
)(xg в этой точке:
)(
01
xgx
=
.
По найденному значению х
1
построим вторую точку х
1
и т.д. по формуле
)(
1 ii
xgx
=
+
.

Страницы