Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

98 Приложение I: Преобразования Лежандра и Ампера
Действительно, тогда между переменными x
k
и x
∗
k
имеется взаимно од-
нозначное и непрерывно дифференцируемое соответствие: если бы такого
соответствия не было, то нашлись бы две различные точки x
0
k
и x
00
k
, в кото-
рых значения производных ∂
i
f одинаковы и, следовательно,
(∂
i
f)
x
s
=x
0
s
− (∂
i
f)
x
s
=x
00
s
(x
0
i
− x
00
i
)=0,
что противоречит строгой выпуклости функции f(x
k
):
(∂
i
f)
x
s
=x
0
s
− (∂
i
f)
x
s
=x
00
s
(x
0
i
− x
00
i
) > 0
при условии kx
0
− x
00
k6=0.
Одним из важнейших свойств преобразования Лежандра является свой-
ство взаимности. Чтобы установить это свойство продифференцируем функ-
цию f
∗
, определенную уравнением (C), по x
k
, рассматривая ее как сложную
функцию:
n
X
i=1
∂f
∗
∂x
∗
i
∂
2
f
∂x
i
∂x
k
=
n
X
i=1
x
i
∂
2
f
∂x
i
∂x
k
.
В силу того, что определитель Гесса функции f отличен от нуля из
последнего соотношения находим
∂f
∗
∂x
∗
i
= x
i
, (D)
и кроме того
f(x
s
)=
n
X
i=1
x
∗
i
x
i
− f
∗
(x
∗
k
). (E)
Таким образом, восстановить исходную функцию по ее преобразованию
Лежандра очень просто: достаточно применить еще раз это же преобразо-
вание. Ясно, поэтому, что преобразование Лежандра инволютивно, т.е. его
квадрат есть тождественное преобразование. Это свойство преобразования
Лежандра обычно называют свойством взаимности.
Рассмотрим далее преобразование Лежандра от функции двух незави-
симых переменных f(x
1
,x
2
). Будем пользоваться классическими обозначе-
ниями Монжа p, q, r, s, t для первых и вторых частных производных от
функции f. Соответствующие производные от f
∗
обозначим через p
∗
, q
∗
,
r
∗
, s
∗
, t
∗
.
Согласно свойству взаимности имеем:
p
∗
= x
1
,q
∗
= x
2
. (F)
Вычислим теперь вторые частные производные r
∗
,s
∗
,t
∗
.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы