Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

100 Приложение I: Преобразования Лежандра и Ампера
где в правой части переменные x
1
,x
2
следует выразить через переменные
x
∗
1
,x
∗
2
на основании уравнений
x
∗
1
= x
1
,x
∗
2
=
∂f
∂x
2
. (M)
Дифференцируя левую и правую части уравнения (L) по x
1
и x
2
,полу-
чим
∂f
∗
∂x
∗
1
+
∂f
∗
∂x
∗
2
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
= x
2
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
−
∂f
∂x
1
,
∂
2
f
∂x
2
2
∂f
∗
∂x
∗
2
− x
2
=0,
откуда, при условии
∂
2
f
∂x
2
2
6=0
сразу же находим
x
2
=
∂f
∗
∂x
∗
2
,
∂f
∂x
1
= −
∂f
∗
∂x
∗
1
, (N)
т.е. — преобразование Ампера обладает свойством взаимности:
f(x
1
,x
2
)=x
2
x
∗
2
− f
∗
(x
∗
1
,x
∗
2
), (O)
x
1
= x
∗
1
,x
2
=
∂f
∗
∂x
∗
2
. (P)
На основании (M) и (N) для первых производных от преобразования
Ампера функции f имеем
p
∗
= −p, q
∗
= x
2
, (Q)
а также — обратные зависимости
p = −p
∗
,q= x
∗
2
, (R)
а для вторых, как показывает несложный расчет, —
r
∗
=
s
2
− rt
t
,s
∗
= −
s
t
,t
∗
=
1
t
, (S)
и обратно
r =
s
∗
2
− r
∗
t
∗
t
∗
,s= −
s
∗
t
∗
,t=
1
t
∗
. (T)
Действительно, так как
dp
∗
= r
∗
dx
1
+ s
∗
dx
∗
2
,
dq
∗
= s
∗
dx
1
+ t
∗
dx
∗
2
,
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы