ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Приложение I: Преобразования Лежандра и Ампера 99
Ясно, что
dp
∗
= r
∗
dx
∗
1
+ s
∗
dx
∗
2
,
dq
∗
= s
∗
dx
∗
1
+ t
∗
dx
∗
2
,
или, благодаря свойству взаимности,
dx
1
= r
∗
(rdx
1
+ sdx
2
)+s
∗
(sdx
1
+ tdx
2
),
dx
2
= s
∗
(rdx
1
+ sdx
2
)+t
∗
(sdx
1
+ tdx
2
),
откуда в силу произвольности дифференциалов dx
1
, dx
2
можно заключить,
что
r
∗
r + s
∗
s =1,r
∗
s + s
∗
t =0,
s
∗
r + t
∗
s =0,s
∗
s + t
∗
t =1.
С помощью последней группы формул находим:
r
∗
=
t
rt − s
2
,s
∗
=
−s
rt −s
2
,t
∗
=
r
rt − s
2
(G)
и обратно
r =
t
∗
r
∗
t
∗
− s
∗
2
,s=
−s
∗
r
∗
t
∗
−s
∗
2
,t=
r
∗
r
∗
t
∗
−s
∗
2
. (H)
Из этих соотношений можно заключить, что
(rt − s
2
)(r
∗
t
∗
− s
∗
2
)=1.
Формулы (A) и (H) позволяют утверждать, что нелинейное дифферен-
циальное уравнение в частных производных вида
A(p, q)r +2B(p, q)s + C(p, q)t =0 (I)
после применения преобразования Лежандра и при условии
rt − s
2
6=0 (J)
изображается как
A(x
∗
1
,x
∗
2
)t
∗
− 2B(x
∗
1
,x
∗
2
)s
∗
+ C(x
∗
1
,x
∗
2
)r
∗
=0, (K)
т.е. становится линейным.
Еще одним примером преобразования, обладающего свойством взаим-
ности, является преобразование Ампера функции f:
f
∗
(x
∗
1
,x
∗
2
)=x
2
x
∗
2
− f(x
1
,x
2
), (L)
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
