Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Приложение I: Преобразования Лежандра и Ампера 97
Приложение I
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖАНДРА И АМПЕРА
Ниже приводятся основные сведения, относящиеся к определению, свой
ствам и применению преобразований Лежандра и Ампера (см. также [41],
с. 140-142; [51], с. 95-104). Эти преобразования широко используются в ма
тематической физике, в частности, для точной линеаризации нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных.
Рассмотрим достаточно гладкую функцию f(x
k
), определенную в неко
торой области пространства n измерений.
Установим соответствие между переменными x
k
и x
∗
k
на основании урав
нений
∂
i
f(x
k
)=x
∗
i
. (A)
Переменные x
∗
i
часто называют также тангенциальными координатами.
Если для некоторых значений переменных x
∗
i
решение системы уравне
ний (A) есть x
i
, и в точке x
i
определитель Гесса отличен от нуля
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
6=0,
то по теореме о неявных функциях существует некоторая окрестность точ
ки x
i
, в которой между переменными x
k
и x
∗
k
имеется взаимно однозначное
и непрерывно дифференцируемое соответствие:
x
i
= x
i
(x
∗
k
). (B)
Преобразованием Лежандра функции f(x
k
) называется функция f
∗
(x
∗
k
),
определяемая уравнением
f
∗
(x
∗
s
)=
n
X
i=1
x
i
x
∗
i
− f(x
k
), (C)
в котором переменные x
k
выражены через переменные x
∗
k
с помощью соот
ношений (B).
Согласно построению преобразование Лежандра корректно определено
только в достаточно малой окрестности точки x
k
. Однако если функция
f(x
k
) строго выпукла в некоторой выпуклой области, то преобразование
Лежандра корректно определено всюду в этой области.
Ю.Н. Радаев

Страницы