ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7.6. Осесимметричная деформация 95
dS
<33>
= −d
1
d
1
dε
2
− κ
2
23
(dε
2
− dε
1
) − d
1
[κ
23
(dε
2
− dε
1
)] − κ
21
κ
12
(dε
1
+ dε
2
−2dε
3
)−
−κ
23
d
1
dε
2
− κ
21
d
3
dε
1
− κ
12
d
3
dε
2
+
+(2κ
21
κ
32
+κ
12
κ
23
+κ
21
κ
23
+d
1
κ
21
+2κ
21
d
1
)
(ε
E
3
− ε
E
1
)dω
=0,
из которых, в силу тождества Бианки ∇ · dS = 0, независимы только два, например,
первое и третье. Действительно, условия dS
<12>
=0,dS
<23>
=0,dS
<31>
=0удовлетво-
ряются тождественно в силу dω
1
=0,dω
3
=0,κ
31
=0,κ
13
=0,d
2
=0. Это означает,
что тензор dS соосен тензору напряжений и dS
<11>
= dS
1
, dS
<22>
= dS
2
, dS
<33>
= dS
3
.
Тождества Бианки при этом сводятся к двум уравнениям:
d
1
dS
1
+ κ
23
(dS
1
− dS
2
)+κ
32
(dS
1
− dS
3
)=0,
d
3
dS
3
+ κ
12
(dS
3
− dS
1
)+κ
21
(dS
3
− dS
2
)=0.
(7.66)
Следовательно, если хотя бы одна из кривизн κ
23
или κ
21
отлична от нуля, то из условий
dS
1
=0, dS
3
=0необходимо dS
2
=0.
Независимыми можно также считать два условия dS
<11>
=0и dS
<22>
=0.Если
кривизна κ
32
отлична от нуля, то из уравнений (7.66) необходимо следует dS
<33>
=0.
При догружении вдоль ребра σ
1
= σ
2
= σ
3
−2k вформулах(7.65) следует положить
ε
E
3
− ε
E
1
= k/G.
Пренебрегая вкладом упругих деформаций, уравнения совместности в приращени-
ях (7.65) можно привести к следующему виду:
dS
<11>
= −d
3
d
3
dε
2
+ κ
2
21
(dε
3
− dε
2
)+d
3
[κ
21
(dε
3
− dε
2
)] −κ
23
κ
32
(dε
2
+ dε
3
− 2dε
1
)−
−κ
21
d
3
dε
2
− κ
32
d
1
dε
2
− κ
23
d
1
dε
3
=0,
dS
<22>
= −d
3
d
3
dε
1
− d
1
d
1
dε
3
+(κ
2
32
− κ
2
12
)(dε
1
−dε
3
)+d
1
[κ
32
(dε
1
−dε
3
)]−
−κ
12
d
3
dε
1
−κ
32
d
1
dε
3
− d
3
[κ
12
(dε
1
− dε
3
)] = 0,
(7.67)
dS
<33>
= −d
1
d
1
dε
2
− κ
2
23
(dε
2
− dε
1
) − d
1
[κ
23
(dε
2
− dε
1
)] − κ
21
κ
12
(dε
1
+ dε
2
−2dε
3
)−
−κ
23
d
1
dε
2
−κ
21
d
3
dε
1
− κ
12
d
3
dε
2
=0.
Независимые условия совместности dS
<11>
=0и dS
<22>
=0после исключения
из них величины dε
2
с помощью условия несжимаемости позволяют сформулировать
систему двух уравнений второго порядка относительно dε
1
и dε
3
. Главная часть этой
системы есть
d
3
d
3
dε
1
+ d
3
d
3
dε
3
+ ··· =0,
− d
3
d
3
dε
1
− d
1
d
1
dε
3
+ ··· =0.
Характеристическое уравнение при условии ν
2
1
+ν
2
3
=1имеет три корня: ν
3
=0(корень
кратности два), ν
3
=1/
√
2, ν
3
= −1/
√
2, т.е. система уравнений dS
<11>
=0и dS
<22>
=0
принадлежит к гиперболическому типу, направления, ортогональные третьей главной
оси напряжений, — характеристические, а остальные характеристические направления
делят пополам углы между главными осями напряжений 1 и 3. Следовательно, харак-
теристиками системы уравнений совместности приращений деформаций dS
<11>
=0и
dS
<22>
=0будут изостаты, ортогональные третьему главному направлению, и линии
скольжения.
Далее, учитывая, что
κ
12
= d
1
χ, κ
32
= −d
3
χ, κ
21
=
sin χ
r
,κ
23
=
cos χ
r
,
атакже
d
3
κ
21
= κ
23
d
3
χ − κ
2
21
,
d
1
κ
23
= −κ
21
d
1
χ − κ
2
23
,
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
