Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

106
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
Любопытно отметить, что уравнения осесимметричной задачи теории
идеальной пластичности для грани призмы Треска также являются гипер
болическими, характеристические направления ориентированы так же, как
и главные направления тензора напряжений, т.е. характеристики касаются
главных направлений тензора напряжений.
Следующий шаг в исследовании уравнений математической теории пла
стичности сделан в [5]. Уравнения пространственной задачи также были
рассмотрены при условии пластичности Треска и ассоциированным с ним
законом течения для напряженных состояний, соответствующих ребру по
верхности текучести. Было показано, что поля собственных векторов тен
зора напряжений, отвечающих наибольшему (или наименьшему) главному
напряжению, необходимо будут расслоенными. Это важнейшее геометри
ческое свойство поля напряжений в пространственном состоянии пластиче
ских тел, установленное в [5], позволило исследовать трехмерную задачу
математической теории пластичности с совершенно новых позиций (см.
также [6]). Были найдены такие криволинейные координаты, что уравне
ния равновесия, преобразованные к новым координатам, свелись к трем
интегрируемым уравнениям вдоль линий главных напряжений. Получены
инварианты, сохраняющие свои значения вдоль траекторий главных напря
жений. Установлена возможность отделения одной из пространственных
переменных в нелинейных уравнениях пространственного пластического
равновесия. Выделены классы пространственных задач теории пластично
сти, для которых поля напряжений соответствуют ребру призмы Треска и
необходимо являются расслоенными. Доказано, что интегрирование урав
нений теории пластичности для задач этих классов сводится к отысканию
канонических отображений пространственных областей. Был развит аппа
рат производящих функций в применении к плоскому и осесимметричному
случаю.
В то время как теория плоского деформированного состояния достаточ
но хорошо развита и известны эффективные аналитические и численные
методы решения задач, ничего подобного нельзя сказать об осесимметрич
ной задаче.
2
Некоторые осесимметричные автомодельные решения, соот
ветствующие течению на ребре призмы Треска, рассматривались Р. Шилдом
(R.T. Shield) [7]; в частности, им было произведено вычисление автомодель
ного поля скольжения вблизи свободной прямолинейной границы. Автомо
дельные решения для скоростей, соответствующие граням кусочно-линей
2
Это обстоятельство отмечалось еще Р. Хиллом (R. Hill) в 1950 г., правда, в применении к осесим-
метричной задаче, сформулированной на основе критерия текучести Мизеса, когда задача не является
гиперболической (см. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехтеоретиздат, 1956. С.
301, 302). Неясно, как в принципе строить решения смешанных краевых задач таких, как вдавлива-
ние конуса или волочение проволоки. Известные осесимметричные распределения напряжений или
приближенны, или получены обратными методами, а затем приведены в соответствие с физической
сущностью явления.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы