Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

108
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
ний; l, m, n — ортонормированный базис из собственных векторов тензора
напряжений; σ
1
,σ
2
,σ
3
— соответствующие собственные значения (главные
напряжения); k — предел текучести при чистом сдвиге. Спектральное раз-
ложение тензора напряжений имеет вид:
σ = σ
1
l ⊗ l + σ
2
m ⊗ m + σ
3
n ⊗ n. (1)
В пространстве главных напряжений условие текучести Треска изобра-
жается поверхностью шестигранной призмы с ребрами
σ
1
± 2k = σ
2
= σ
3
,σ
1
= σ
2
± 2k = σ
3
,σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k.
Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы
Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений
так, чтобы выполнялось равенство
σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k. (2)
Последнее условие означает, что главное напряжение σ
3
является либо
наименьшим, либо наибольшим главным нормальным напряжением.
Так как l, m, n — ортонормированный базис, то
l ⊗ l + m ⊗ m + n ⊗ n = I, (3)
где I — единичный тензор.
Учитывая соотношения (1), (3) и уравнение ребра призмы σ
1
= σ
2
=
σ
3
± 2k, получим следующее выражение для тензора напряжений:
σ =(σ
3
± 2k)I ∓ 2kn ⊗ n. (4)
Таким образом тензор напряжений полностью определяется скалярным
полем σ
3
и единичным векторным полем n.
Уравнение равновесия divσ = 0 после подстановки в него разложения
(4) можно представить в следующем виде:
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0 (n · n =1). (5)
Следовательно, задача о равновесии тела, напряженное состояние ко-
торого соответствует ребру призмы Треска, статически определима (по-
скольку имеется ровно три уравнения для определения трех неизвестных:
собственного значения σ
3
и, например, двух углов, задающих ориентацию
единичного вектора n), если граничные условия заданы в напряжениях.
Уравнения равновесия могут быть формально рассмотрены независимо от
кинематических уравнений.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы