Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
109
Обозначим через Σ безразмерное отношение σ
3
к ∓2k и приведем урав-
нение (5) к виду:
gradΣ + div(n ⊗ n)=0 (n · n =1). (6)
Можно показать, что уравнение (6) принадлежит к гиперболическому
типу. Нормали к характеристическим поверхностям образуют конус с уг-
лом полураствора π/4 и осью, ориентированной вдоль вектора n. Характе-
ристические поверхности являются также и поверхностями максимального
касательного напряжения (поверхностями скольжения). Характеристиче-
скими являются не только поверхности скольжения, но и интегральные
поверхности поля n (т.е. поверхности, составленные из интегральных кри-
вых поля n).
Отметим также еще одну инвариантную форму уравнения (6):
∇Σ+(n · ∇)n + n(∇ · n)=0. (7)
Для единичного векторного поля справедлива формула
(n · ∇)n = −n × rotn, (8)
с помощью которой векторное уравнение (7) может быть также представ-
лено в виде
∇Σ − n × rotn + ndivn = 0. (9)
Преобразуем уравнение (6) к криволинейным координатам ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
.
Выбор координатной системы, наиболее подходящей для изучения трехмер-
ных уравнений математической теории пластичности, будет указан ниже.
Ковариантные компоненты векторного поля div(n ⊗ n) равны:
(div(n ⊗ n))
l
= g
−1/2
g
kl
∂(g
1/2
n
k
n
m
)
∂ξ
m
+ n
r
n
s
[rs, l](l =1, 2, 3), (10)
где g
ij
— компоненты метрического тензора, g =detkg
ij
k, [rs, l] — символы
Кристоффеля первого рода. Через n
m
обозначены контравариантные ком-
поненты векторного поля n.
Используя формулу (10), представим уравнение (6) в ковариантной фор-
ме:
∂Σ
∂ξ
l
+ g
−1/2
g
kl
∂(g
1/2
n
k
n
m
)
∂ξ
m
+ n
r
n
s
[rs, l]=0. (11)
2. Разделение переменных в пространственных уравне-
ниях математической теории пластичности
В работе [6] было исследовано уравнение (6) сначала в предположении,
что n × rotn = 0 всюду в области пластического течения. Решение при
Ю.Н. Радаев

Страницы