Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
111
упростить уравнения (11):
∂
∂ξ
1
(Σ −ln
√
g
33
)=0,
∂
∂ξ
2
(Σ −ln
√
g
33
)=0,
∂
∂ξ
3
(Σ −ln
√
g
33
+ln
√
g)=0.
(12)
Уравнения (12) интегрируются вдоль линий главных напряжений. Ин-
вариант I
1
=Σ−ln
√
g
33
сохраняет свое значение на каждом из слоев поля
n. Инвариант I
2
=Σ−ln
√
g
33
+ln
√
g не изменяется вдоль векторной линии
поля n. Таким образом, если напряженное состояние соответствует ребру
призмы Треска, то поле главных направлений, определяющих ориентацию
n, необходимо является расслоенным и, следовательно, в новых специаль-
ным образом подобранных координатах ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
уравнения равновесия
приводятся к трем интегрируемым соотношениям (12).
Необходимое и достаточное условие интегрируемости системы (12)со-
стоит, как нетрудно заметить, в возможности разложения детерминанта g
в произведение двух положительных функций:
g = G
1
(ξ
1
,ξ
2
)G
2
(ξ
3
). (13)
Три интегрируемых соотношения (12) эквивалентны одному соотноше-
нию (13). Таким образом, находится величина g, для которой разделяются
пространственные переменные и которая представляет собой определитель,
составленный из компонент метрического тензора специальным образом
подобранной координатной системы ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, ее координатными линиями
являются траектории главных нормальных напряжений.
В качестве примеров расслоенного поля напряжений можно привести
осесимметричную задачу и задачу о плоской деформации. Действительно,
любое осесимметричное, или плоское, векторное поле является расслоен-
ным. Если ввести цилиндрические координаты r, ϕ, z, то слоями осесим-
метричного поля n будут поверхности, образованные вращением вокруг
оси симметрии ортогональных полю n траекторий, расположенных в плос-
кости ϕ =0. Слоями плоского векторного поля являются цилиндрические
поверхности над ортогональными линиями поля n.
Ясно также, что если поле напряжений допускает ортогональную изо-
статическую сетку ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, то оно является расслоенным, и соотношения
(12) следует рассматривать как интегрируемые соотношения вдоль взаим-
но ортогональных линий главных напряжений.
Ю.Н. Радаев

Страницы