Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

112
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
3. Автомодельные решения осесимметричной задачи ма-
тематической теории пластичности
Осесимметричное пластическое течение, когда напряженное состояние
соответствует ребру призмы Треска, можно разделить на следующие два
типа:
6
1) тангенциальное напряжение является наибольшим (наименьшим)
главным напряжением, а меридиональные главные напряжения равны; 2)
тангенциальное напряжение равно одному из меридиональных главных
напряжений, а максимальное касательное напряжение в меридиональной
плоскости равно пределу текучести k. Первый случай исследуется элемен-
тарными средствами. Второй случай — состояние ”полной пластичности”
Хаара—Кармана. Если присвоить тангенциальному главному направлению
второй номер и обозначить через σ
3
наибольшее (наименьшее) из двух ме-
ридиональных главных напряжений, то приходим к соотношениию (2), ха-
рактеризующему состояние ”полной пластичности”.
Автомодельные решения уравнений теории пластичности удобнее всего
искать, используя специальные переменные ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
и учитывая возмож-
ность отделения координаты ξ
3
.
В случае осевой симметрии формулы, связывающие декартовы коорди-
наты x
1
, x
2
, x
3
и криволинейные координаты ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
, следует, очевидно,
искать в следующем виде:
x
1
= f(ξ
1
,ξ
3
)cosξ
2
,x
2
= f(ξ
1
,ξ
3
)sinξ
2
,x
3
= h(ξ
1
,ξ
3
). (14)
Здесь ξ
i
— специальные криволинейные координаты, определяемые по век-
торному полю n, функции f и h подлежат определению, ξ
2
— угловая ко-
ордината.
Так как криволинейная координатная сетка характеризуется свойства-
ми g
13
=0, g
23
=0, а детерминант g разлагается в произведение двух
функций (см. формулу (13)), то отображающие функции (14) необходимо
должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений
∂f
1
∂ξ
1
∂f
1
∂ξ
3
+
∂f
2
∂ξ
1
∂f
2
∂ξ
3
+
∂f
3
∂ξ
1
∂f
3
∂ξ
3
=0,
∂f
1
∂ξ
2
∂f
1
∂ξ
3
+
∂f
2
∂ξ
2
∂f
2
∂ξ
3
+
∂f
3
∂ξ
2
∂f
3
∂ξ
3
=0,
∂f
k
∂ξ
3
∂f
k
∂ξ
3
"
∂f
p
∂ξ
1
∂f
p
∂ξ
1

∂f
r
∂ξ
2
∂f
r
∂ξ
2
−
∂f
s
∂ξ
1
∂f
s
∂ξ
2
2
#
= G
1
(ξ
1
,ξ
2
)G
2
(ξ
3
),
(15)
6
Тангенциальное напряжение всегда будет главным напряжением при осесимметричном напряжен-
ном состоянии.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы