Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
113
где f
1
= f(ξ
1
,ξ
3
)cosξ
2
, f
2
= f(ξ
1
,ξ
3
)sinξ
2
, f
3
= h(ξ
1
,ξ
3
). Тогда поверхно-
сти ξ
3
=constможно принять в качестве слоев поля n и затем с помощью
интегралов (12) восстановить поле напряжений.
Подставим выражения (14) в систему дифференциальных уравнений
(15). В результате находим:
∂f
∂ξ
1
∂f
∂ξ
3
+
∂h
∂ξ
1
∂h
∂ξ
3
=0,
"
∂f
∂ξ
3
2
+
∂h
∂ξ
3
2
#"
∂f
∂ξ
1
2
+
∂h
∂ξ
1
2
#
f
2
= G
1
(ξ
1
)G
2
(ξ
3
).
(16)
В этой системе уравнений у функции G
1
исключается зависимость от
угловой координаты ξ
2
в силу осевой симметрии. Будем искать автомодель-
ное решение осесимметричной задачи математической теории пластично-
сти в форме
f = ξ
1 α
ξ
3 β
F (ξ),h= ξ
1 α
ξ
3 β
H(ξ),
где ξ = ξ
1
/ξ
3
— автомодельная переменная; α, β — некоторые показатели.
Тогда система уравнений в частных производных (16) сведется к систе-
ме двух обыкновенных дифференциальных уравнений (штрих обозначает
дифференцирование по автомодельной переменной ξ):
αβ
F
2
+ H
2
+ ξ (β − α)(FF
0
+ HH
0
) −ξ
2
F
02
+ H
02
=0,
h
ξ
4
F
02
+ H
02
2
+2ξ
3
(α − β)
F
02
+ H
02
(FF
0
+ HH
0
)+
+ξ
2
α
2
+ β
2

F
2
+ H
2

F
02
+ H
02
+
+2αβξ (β − α)
F
2
+ H
2
(FF
0
+ HH
0
) −
−4αβξ
2
(FF
0
+ HH
0
)
2
+ α
2
β
2
F
2
+ H
2
2
i
F
2
=
ξ
2
G
1
(ξ
1
)G
2
(ξ
3
)
ξ
16α
ξ
36β−4
.
(17)
Анализ этой системы показывает, что при α = β система (17)суще-
ственно упрощается и принимает форму:
α
2
F
2
+ H
2
− ξ
2
F
02
+ H
02
=0,
h
ξ
4
F
02
+ H
02
2
+2ξ
2
α
2
F
2
+ H
2

F
02
+ H
02
−
−4α
2
ξ
2
(FF
0
+ HH
0
)
2
+ α
4
F
2
+ H
2
2
i
F
2
=
G
1
(ξ
1
)G
2
(ξ
3
)
(ξ
1
ξ
3
)
6α−2
.
(18)
Так как G
1
и G
2
не конкретизированы, то при поиске автомодельных
решений отношение
G
1
(ξ
1
)G
2
(ξ
3
)
/
ξ
1
ξ
2
6α−2
можно представить в виде
Cξ
µ+2
,гдеC есть некоторая постоянная, а µ — показатель.
Ю.Н. Радаев

Страницы