ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
115
С целью упрощения последнего дифференциального уравнения поло-
жим s = −2 и получим
dv
du
2
=3
2
l
2
−
v
2
1 − u
2
. (26)
Обозначим через ¯v безразмерное отношение v/l, тогда уравнение (26)
примет вид
d¯v
du
2
=3
2
1 −
¯v
2
1 −u
2
. (27)
Полученное уравнение не содержит никаких параметров и в чистом виде
определяет форму автомодельного решения. При приведении последнего
уравнения к нормальной форме в правой части возникает иррациональ-
ность корневого типа. Изучим уравнение (27) в плане возможного преоб-
разования его к форме, которая могла бы быть классифицирована, а само
уравнение отнесено к одному из известных типов.
В уравнении (27) совершим замену переменных ¯v =sinτ
√
1 − u
2
. То-
гда, возвращаясь к угловой переменной ι, получаем наиболее простую и
симметричную форму этого уравнения:
dτ
dι
= ±tg
2
π
3
+tgτ tg ι. (28)
Исследование полученного уравнения проведем, ограничившись выбо-
ром отрицательного знака. Уравнение (28) иррациональное, с иррациональ-
ностью тригонометрического типа. Чтобы устранить эту иррациональность,
вместо переменных τ, ι введем новые переменные: λ =tgτ, µ =tgι.Вре-
зультате вместо уравнения (28) получим
(1 + µ
2
)
dλ
dµ
=(1+λ
2
)(−3+λµ). (29)
Заменим в последнем уравнении неизвестную функцию по формуле
λ = a(µ)ς + b(µ).
Тогда уравнение (29) преобразуется к
(1 + µ
2
)a
dς
dµ
= −(1 + µ
2
)
db
dµ
+(1+b
2
)(−3+bµ)+
+[a(µ −6b +3µb
2
) − (1 + µ
2
)
da
dµ
]ς+
+3a
2
(µb − 1)ς
2
+ µa
3
ς
3
.
(30)
Ю.Н. Радаев
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
