Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

116
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
Попытаемся подобрать a(µ) и b(µ) так, чтобы вид уравнения стал макси-
мально простым. Видно, что член с нулевой степенью ς исчезает, если
−(1 + µ
2
)
db
dµ
+(1+b
2
)(−3+bµ)=0,
т.е. фактически, когда известно хотя бы одно частное решение уравнения
(29). Так как разыскание частного решения (29) затруднительно, то оста-
ется вариант устранить член со второй степенью ς,положивb = µ
−1
.Член
с первой степенью ς будет устранен, если в качестве a выбрать решение
дифференциального уравнения
a(µ − 3µ
−1
)=(1+µ
2
)
da
dµ
.
Это уравнение, к счастью, без труда интегрируется и поставленная цель
легко достигается:
a =
(1 + µ
2
)
2
µ
3
,
после чего уравнение (30) приобретает вид
dς
dµ
= −
µ
(1 + µ
2
)
2
+
(1 + µ
2
)
3
µ
5
ς
3
.
Это уравнение заменой независимой переменной
υ =
1
1+µ
2
удается свести к
dς
dυ
=
1
2
−
1
2υ
2
(1 − υ)
3
ς
3
. (31)
Здесь изменение независимой переменной υ ограничивается интервалом
(0, 1].
Полученное уравнение классифицируется как уравнение Абеля первого
рода
7
и сводится к уравнению Абеля второго рода, если известно хотя бы
одно его частное решение. На рис. П1 изображены интегральные кривые
уравнения (31) внутри полосы 0 <υ<1. Они были получены численным
интегрированием уравнения (31), задавая при ς = ±1 значения υ на отрезке
[0.1, 0.9] с шагом 0.1, а также, полагая υ =0при ς =0. Видно, что все
интегральные кривые уравнения (31), расположенные внутри полосы 0 <
υ<1, проходят через точку υ =1, ς =0.
7
См., например, Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: На
ука, 1976. С. 44-47; Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифферен
циальным уравнениям. М.: Факториал, 1997. С. 80.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы