Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

114
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
Систему (18) можно несколько упростить. Производя необходимые пре-
образования и предполагая α 6=0, в результате приходим к
(
α
2
F
2
+ H
2
= ξ
2
F
02
+ H
02
,
(F
0
H − FH
0
)
2
=
Cξ
µ
4α
2
F
2
.
(19)
Исследуем последнюю систему, вводя в плоскости F, H полярные коор-
динаты:
F = ρ cos ι, H = ρ sin ι. (20)
Подставим выражения (20) в систему (19). После преобразований полу-
чим систему в полярных координатах ρ, ι, которая подлежит интегрирова-
нию:
ι
02
=
Cξ
µ
4α
2
ρ
6
cos
2
ι
,
ι
02
=
α
2
ξ
2
−
ρ
02
ρ
2
.
(21)
Если разделить первое уравнение полученной системы на второе урав-
нение этой же системы, то зависимость от автомодельной переменной ξ
при µ = −2 будет устранена и останется одно уравнение первого порядка
относительно полярных координат ρ и ι:
1+
dρ
ρdι
2
=
4α
4
ρ
6
cos
2
ι
C
. (22)
Произведем далее замену переменной по формуле: ln ρ = W .Тогда
дифференциальное уравнение (22) примет вид
1+
dW
dι
2
=
4α
4
C
e
6W
cos
2
ι. (23)
Обозначив через l
2
константу 4α
4
/C, получим
1+
dW
dι
2
= l
2
e
6W
cos
2
ι. (24)
Совершим еще раз замену переменных по формулам e
6W
= v
s
и sin ι = u,
где показатель s будет определен ниже. Таким образом, вместо (24) имеем
уравнение:
1
cos
2
ι
+
s
2
36v
2
dv
du
2
= l
2
v
s
. (25)
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы