Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

118
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
Так как в последнем равенстве справа и слева фигурируют многочле-
ны, то из теоремы о единственности разложения многочлена на простейшие
множители следует, что любой простейший множитель, входящий в разло-
жение многочлена Q(υ), входит также и в разложение многочлена P (υ).Но
дробь (32) несократимая, следовательно, многочлены Q(υ) и P (υ) не мо-
гут иметь одинаковых простейших множителей. Поэтому многочлен Q(υ)
не имеет в своем разложении простейших множителей и сводится просто к
некоторой константе. Ясно, что тогда, положив Q =1, дробь (32)можно
считать просто многочленом:
ς = P (υ). (35)
Подставляя затем Q =1в(34), получим
(1 − 2P
0
)υ
2
(1 − υ)
3
= P
3
. (36)
На основании теоремы о единственности разложения многочлена на про-
стейшие множители получим, что многочлен P (υ) делится на υ(1 −υ),т.е.
его можно представить в форме
P (υ)=υ(1 − υ)R(υ) (37)
где R(υ) — многочлен.
Подставляя в уравнение (36) выражение (37), находим
1 −2(1 − υ)R +2υR − 2υ(1 −υ)R
0
= υR
3
. (38)
Если степень многочлена R(υ) равна n, то в уравнении (38) степень много-
члена справа есть 1+3n , а слева — не больше, чем 1+n. Но степени рассмат-
риваемых многочленов должны быть равны, что невозможно при n > 1.
Следовательно, степень n многочлена R(υ) равна нулю, т.е. R(υ)=const.
С помощью (38) находим
1 − 2R +4υR −υR
3
=1− 2R +(4R − R
3
)υ =0. (39)
Приравнивая коэффициенты при нулевой и первой степени υ нулю, по-
лучим несовместную систему уравнений для определения постоянной. Та-
ким образом, уравнение (31) не может иметь рациональных (и поэтому
вообще однозначных) интегралов.
Обратимся снова к системе (17). После ряда преобразований ее можно
представить как
αβ
F
2
+ H
2
+ ξ (β − α)(FF
0
+ HH
0
) − ξ
2
F
02
+ H
02
=0,
(FH
0
− HF
0
)
2
=
G
1
ξ
1
G
2
ξ
3
(α + β)
2
ξ
16α
ξ
36β−4
F
2
.
(40)
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы