Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
119
Здесь мы предполагаем, что α + β 6=0.
Удобно принять для G
1
и G
2
следующие выражения:
G
1
(ξ
1
)=C
1
ξ
16α+µ
,G
2
(ξ
3
)=C
2
ξ
36β−µ−4
, (41)
где C
1
и C
2
некоторые константы, а µ — показатель. Положим C = C
1
C
2
.
Проведем рассуждения, аналогичные тем, которые были проведены выше
для случая α = β. Снова положим µ = −2 с целью устранения переменной
ξ. В результате
9
получим дифференциальное уравнение первого порядка
αβ (α + β)
2
e
6W
cos
2
ι
C
+
β
2
− α
2
e
3W
cos ι
sign(α + β)
√
C
dW
dι
=1+
dW
dι
2
. (42)
Продолжим исследование этого дифференциального уравнения; введем
следующие обозначения:
l
1
=
αβ (α + β)
2
C
,l
2
=sign(α + β)
β
2
−α
2
√
C
,
получим уравнение
l
1
e
6W
cos
2
ι + l
2
e
3W
cos ι
dW
dι
=1+
dW
dι
2
, (43)
в котором заменим переменную по формуле e
3W
= z
s
(показатель s будет
определен ниже). Тогда дифференциальное уравнение (42) приобретает вид
l
1
z
2s
cos
2
ι + l
2
z
s
cos ι
s
3z
dz
dι
=1+
s
2
3
2
z
2
dz
dι
2
. (44)
С целью упрощения (44), полагая s = −1, получим
l
1
cos
2
ι −
l
2
cos ι
3
dz
dι
= z
2
+3
−2
dz
dι
2
. (45)
Совершим замену переменной по формуле sin ι = u, тогда последнее
уравнение примет вид
dz
du
2
=3
2
l
1
−
l
2
3
dz
du
−
z
2
1 −u
2
. (46)
Если α и β одного знака, то l
1
> 0. Обозначим через ¯v безразмерное
отношение z/
√
l
1
, тогда уравнение (46) примет форму
d¯v
du
2
=3
2
1 −
β − α
3
√
αβ
d¯v
du
−
¯v
2
1 −u
2
, (47)
9
Здесь мы ограничиваемся случаем, когда dι/dξ > 0.
Ю.Н. Радаев

Страницы