Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

120
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
которая пригодна как для случая α + β>0, так и для случая α + β<0.
Разрешим это уравнение относительно производной:
2
3
d¯v
du
= −
β − α
√
αβ
±
s
(β − α)
2
αβ
+4
1 −
¯v
2
1 − u
2
. (48)
Естественной областью определения полученного уравнения будет внут-
ренность эллипса
u
2
+
¯v
2
γ
2
1
< 1
γ
1
=
p
1+(β − α)
2
(4αβ)
−1
.
Уравнение (48) также может быть приведено к симметричной тригоно-
метрической форме посредством замены ¯v = γ
1
sin τ cos ι и использования
угла ι в качестве независимой переменной:
dτ
dι
=3
sign(α + β)
α − β
(α + β)cosτ
± 1
+tgιtgτ. (49)
Если α и β разных знаков, то l
1
< 0. Определяя в этом случае ¯v как
безразмерное отношение z/
√
−l
1
, приходим к уравнению
d¯v
du
2
=3
2
−1 −
β − α
3
√
−αβ
d¯v
du
−
¯v
2
1 − u
2
, (50)
разрешив которое относительно производной, получаем
2
3
d¯v
du
= −
β − α
√
−αβ
±
s
(β − α)
2
−αβ
− 4
1+
¯v
2
1 − u
2
. (51)
Естественной областью определения этого уравнения будет внутрен-
ность эллипса
u
2
+
¯v
2
γ
2
2
< 1
γ
2
=
p
−1 − (β − α)
2
(4αβ)
−1
.
Как и прежде, уравнение (51) приводится к симметричной тригономет-
рической форме с помощью замены ¯v = γ
2
sin τ cos ι и использования угла
ι в качестве независимой переменной. В результате получается уравнение,
совпадающее с (49).
Уравнения (27)и(47) представляют собой нелинейные неавтономные
уравнения, интегралы которых пока получить не удается. Ясно, что эти
уравнения могут быть проанализированы численно. Так, на рис. П2, П3
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы