Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

122
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
изображены интегральные кривые уравнения (27) внутри естественной об-
ласти определения u
2
+¯v
2
< 1.
Теперь попытаемся найти другие возможные формы автомодельных ре-
шений. Будем искать решения системы (16) в предположении, что автомо-
дельная переменная представляет собой произведение степеней изостати-
ческих переменных с различными показателями:
f = ξ
1 α
ξ
3 β
F (ξ),h= ξ
1 α
1
ξ
3 β
1
H(ξ), (52)
где ξ = ξ
1 γ
ξ
3 δ
— автомодельная переменная; α, β, α
1
,β
1
,γ,δ— некоторые
показатели.
Тогда при условии, что существует показатель ω такой, что
ξ
ω
= ξ
1 α
1
−α
ξ
3 β
1
−β
, (53)
система двух уравнений в частных производных (16) сводится к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
αβF
2
+ ξ (αδ + γβ) FF
0
+ ξ
2
γδF
02
+
+ξ
2ω
α
1
β
1
H
2
+ ξ (α
1
δ + β
1
γ) HH
0
+ ξ
2
γδH
02
=0,
FH
0
−HF
0
+
ω
ξ
HF
2
=
G
1
ξ
1
G
2
ξ
3
(αδ − βγ)
2
ξ
14α+2α
1
−2
ξ
34β+2β
1
−2
ξ
2
F
2
,
(54)
где в силу условия (53) α
1
= α + γω, β
1
= β + δω, а остальные показатели
независимы. Естественно предполагается выполнение условия αδ −βγ 6=0.
С целью устранения переменных ξ
1
и ξ
3
в(54) представим G
1
и G
2
в
следующем виде:
G
1
(ξ
1
)=C
1
ξ
14α+2α
1
+γ(µ+2)−2
,G
2
(ξ
3
)=C
2
ξ
34β+2β
1
+δ(µ+2)−2
, (55)
где C
1
и C
2
— некоторые положительные константы, а µ — некоторый пока-
затель.
Преобразуем полученную систему (54), вводя в плоскости ξ
−ω/2
F , ξ
ω/2
H
полярные координаты:
ξ
−ω/2
F = ρ cos ι, ξ
ω/2
H = ρ sin ι.
В меридиональной плоскости x
2
=0справедливы соотношения
ξ
ω
ξ
1 α
ξ
3 β
ρ
2
= x
2
1
+ x
2
3
, tg ι =
x
3
x
1
,
т.е. угол ι — полярный угол в меридиональной плоскости, отсчитываемый
от горизонтальной оси.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы