Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
123
Положим C = C
1
C
2
; получим систему вида:
4αβρ
2
+2(αδ + γβ) ωρ
2
+ γδω
2
ρ
2
+
+4ξ [(αδ + βγ + ωγδ)ρρ
0
]+4ξ
2
γδ
ρ
02
+ ρ
2
ι
02
=0,
ι
02
=
Cξ
µ−ω
(αδ − βγ)
2
ρ
6
cos
2
ι
.
(56)
Дальнейшие рассуждения в принципе не отличаются от приведенных
выше. Автомодельную переменную ξ удается устранить, положив µ = ω−2;
в результате порядок системы понижается на одну единицу и получается
10
дифференциальное уравнение первого порядка, совпадающее с уравнением
(43)
l
1
e
6W
cos
2
ι + l
2
e
3W
cos ι
dW
dι
=1+
dW
dι
2
, (57)
но постоянные коэффициенты l
1
и l
2
определяются следующим образом:
l
1
=
−
4αβ +2ω(αδ + βγ)+ω
2
γδ
(αδ − βγ)
2
4Cγδ
,
l
2
=
−(αδ + βγ + ωγδ)(αδ − βγ)
√
Cγδ
sign(αδ − βγ).
Таким образом, одно уравнение (45) по существу описывает все рас-
смотренные выше автомодельные решения осесимметричной задачи, для
которых существует универсальная зависимость между F и H, не включа-
ющая автомодельную переменную ξ.
Как и прежде, заменами e
3W
= z
−1
и sin ι = u уравнение (57) приводит-
ся к (46). Исследуем знак коэффициента l
1
, для чего необходимо исследо-
вать знак квадратного трехчлена 4αβ +2(αδ + βγ)ω + γδω
2
. Подсчитывая
его корни
ω
1,2
=
−(αδ + βγ) ±|αδ − βγ|
γδ
,
для l
1
, l
2
находим выражения
l
1
= −
(αδ − βγ)
2
(ω − ω
1
)(ω − ω
2
)
4C
,
l
2
= −
(2ω − ω
1
− ω
2
) |αδ − βγ|
2
√
C
,
или также
l
1
= −γ
2
δ
2
(ω
1
− ω
2
)
2
(ω − ω
1
)(ω −ω
2
)
16C
,
10
Мы по-прежнему полагаем, что dι/dξ > 0.
Ю.Н. Радаев

Страницы