Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

110
Приложение II: Автомодельные решения осесимметричной задачи теории
пластичности
этом было классифицировано как вырожденное.
4
Было установлено, что
выполнение условия n ×rotn = 0 возможно только, если n — безвихревое
векторное поле,
5
т.е.
n = ∇f,
где f — потенциал поля. Оказалось также, что семейство поверхностей уров-
ня потенциала f(x
1
,x
2
,x
3
) есть семейство эквидистантных, по отношению
к некоторой фиксированной (базовой) поверхности уровня f(x
1
,x
2
,x
3
)=c,
поверхностей. Более того, в области вырожденного поля единственно воз-
можными базовыми поверхностями уровня являются плоскость, цилиндр
или сфера (или их части). Решения пространственных уравнений математи-
ческой теории пластичности классифицируются в [6] как невырожденные,
когда n ×rotn 6= 0 всюду в пластической зоне. При одновременном выпол-
нении условий n ×rotn 6= 0 и n ·rotn 6=0никаких нетривиальных решений
уравнения (9) получить нельзя. Следовательно, наибольший интерес пред-
ставляет тот случай, когда n · rotn =0и rotn 6= 0 всюду в пластической
зоне. В этом случае векторные поля n будут расслоенными, и в дальнейшем
исследовании они будут играть особую роль.
Поле напряжений в некоторой области назовем расслоенным (или слои-
стым), если существует семейство поверхностей, заполняющее эту область,
такое, что векторное поле единичных нормалей к поверхностям данного
семейства совпадает с полем n собственных векторов тензора напряжений.
Для того чтобы векторное поле n было расслоенным в некоторой области,
необходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области выполнялось следу-
ющее соотношение:
n ·rotn =0.
Сформулированное утверждение известно как теорема Якоби (см., напри-
мер, [12], с. 10, 11).
Воспользуемся расслоенностью векторного поля n и выберем криволи-
нейные координаты ξ
m
специальным образом: координатные поверхности
ξ
3
=constесть слои поля n, а поверхности ξ
1
=constи ξ
2
=const—
интегральные поверхности поля n (т.е. поверхности, составленные из инте-
гральных кривых векторного поля n). Строго регламентированным, таким
образом, является лишь выбор координатных поверхностей ξ
3
=const.До-
полнительно заметим, что поверхности ξ
1
=constи ξ
2
=const— характе-
ристические для уравнения (6). При таком выборе криволинейных коорди-
нат имеем: g
13
=0, g
23
=0, n
1
=0, n
2
=0, что позволяет существенно
4
Мы называем этот случай вырожденным, подразумевая под этим тот факт, что вырожденному
решению уравнений теории пластичности соответствуют прямолинейные векторные линии поля n.
5
Доказательство этого утверждения приводится в работе [6].
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы