Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

3. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений 39
3. Расслоенные невырожденные пластические
поля напряжений
Возвращаясь к исследованию невырожденных решений уравнений тео
рии пластичности, рассмотрим прежде всего условие n ·rot n =0, которое
выполняется для любого невырожденного решения.
В дальнейшем исследовании особую роль будут играть расслоенные век
торные поля n.
Поле напряжений в области G назовем расслоенным (или слоистым),
если существует семейство поверхностей S, заполняющее область G,та
кое, что векторное поле единичных нормалей к поверхностям семейства S
совпадает с полем n собственных векторов тензора напряжений.
Для того чтобы векторное поле n было расслоенным в области G, необ
ходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области выполнялось следующее
соотношение:
n · rot n =0. (3.1)
Сформулированное утверждение известно как теорема Якоби (см., на
пример, [19], c. 10, 11). Векторное поле n, удовлетворяющее условию (3.1),
часто называют голономным.
30
Здесь мы опускаем детали вывода этого условия, но заметим, что оно
выражает также тот факт, что дифференциальная форма n
1
dx
1
+ n
2
dx
2
+
n
3
dx
3
после умножения на интегрирующий множитель µ превращается в
полный дифференциал (см., например, [26]; [27], с. 366-368):
µ(n
1
dx
1
+ n
2
dx
2
+ n
3
dx
3
)=dΨ.
Ясно, что для интегрирующего множителя справедливо соотношение
µ = |∇Ψ|.
Кроме того, можно утверждать, что если векторное поле n не является
расслоенным, то его можно ”подправить” безвихревым векторным полем
∇Φ так, что условие (3.1) будет выполняться для поля n
0
= n − ∇Φ и,
следовательно, векторное поле n всегда можно представить в виде суммы
безвихревого ∇Φ и расслоенного (и притом вихревого, т.е. с ненулевым
вихрем) векторного поля n
0
:
31
n = n
0
+ ∇Φ. (3.2)
30
Для произвольного векторного поля n, следовательно, можно ввести меру неголономности, опре-
деляя ее как скалярное произведение n · rot n.
31
Это утверждение следует из того факта, что дифференциальная форма n
1
dx
1
+ n
2
dx
2
+ n
3
dx
3
всегда может быть приведена к каноническому виду
n
1
dx
1
+ n
2
dx
2
+ n
3
dx
3
= dΦ+µ
−1
dΨ.
Ю.Н. Радаев

Страницы