Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

3. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений 41
Поэтому соотношение (3.3) сводится к следующему:
ZZ
S
λ |n
0
|dS =0.
Выполнение этого соотношения оказывается невозможным, так как од-
новременно λ>0 и |n
0
| > 0 на поверхности S. Полученное противоречие
и доказывает сформулированное утверждение.
Как следует из результатов, полученных в разделе 1, единичное век-
торное поле n, удовлетворяющее уравнению (1.12),можетбытьлибобез-
вихревым расслоенным, либо вихревым расслоенным, т.е. векторное поле
n представляется либо только первым, либо только вторым слагаемыми в
(3.2).
Расслоенность векторного поля n и его ненулевая завихренность гаран-
тируют исключение всех вырожденных случаев, рассмотренных в разделе
1.1. Завихренность поля n выступает, таким образом, как признак невы-
рожденности напряженного состояния.
При выполнении условия (3.1)слоиполяn, то есть поверхности семей-
ства S, образуются векторными линиями поля rot n следующим образом:
сначала выбирается некоторая поверхность S так, чтобы поле n касалось ее
в каждой точке, и на поверхности S строится однопараметрическое семей-
ство ортогональных к n траекторий, затем из каждой точки ортогональной
траектории выпускаются векторные линии поля rot n и составляется слой
поля n.
Условие расслоенности поля n (3.1) наряду с формулой Гамильтона
(1.29) позволяют однозначно найти ротор поля n:
rot n = κβ,κ= |rot n|. (3.5)
Для слоистого векторного поля n, слои которого есть поверхности уров-
ня функции ω(x
1
,x
2
,x
3
), вектор кривизны κ векторной линии поля n мо-
жет быть вычислен по формуле Дарбу (G. Darboux) (см. [19], с. 24):
κ = −∇ ln |∇ω|
−1
+ n(n ·∇ ln |∇ω|
−1
). (3.6)
Средняя кривизна H поверхности ω(x
1
,x
2
,x
3
)=constвычисляется как
поверхностная дивергенция единичного вектора нормали (см. [28], с. 272):
2H = ∇
ω=const
·
∇ω
|∇ω|
= ∇ ·
∇ω
|∇ω|
=
∆ω
|∇ω|
−
1
|∇ω|
2
(∇ω) · ∇ |∇ω|,
(3.7)
или
2H =
∆ω
|∇ω|
+
∇ω
|∇ω|
· ∇ ln |∇ω|
−1
. (3.8)
Ю.Н. Радаев

Страницы