Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

42 3. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений
Здесь ∇
ω=const
— поверхностный оператор Гамильтона. Если ξ
1
,ξ
2
—Гаус-
совы координаты на поверхности ω =const,то
∇
ω=const
= i
1
∂
∂ξ
1
+ i
2
∂
∂ξ
2
,
где i
1
, i
2
— локальные контравариантные базисные векторы на поверхности.
Если n — единичный вектор нормали к поверхности ω(x
1
,x
2
,x
3
)=const,
то оказывается, что его поверхностная дивергенция совпадает с простран-
ственной: ∇
ω=const
·n = ∇ · n.
Действительно, на каждом слое векторного поля n имеется система из
двух взаимно перпендикулярных семейств кривых, касательные к которым
есть главные нормали и бинормали линий поля. Обозначая через κ
1
, κ
2
нормальные кривизны указанных линий, находим
κ
1
=< n, ν, rot ν >= β · rot ν,
κ
2
=< n, β, rot β >= −ν · rot β.
(3.9)
Учитывая далее, что
2H = κ
1
+ κ
2
= β · rot ν − ν · rot β, (3.10)
находим
2H =div(ν × β)=divn. (3.11)
Обратим внимание читателя также на следующие формулы:
rot n =
(∇ω) × (∇ |∇ω|)
|∇ω|
2
, (3.12)
κβ =
n × (∇ |∇ω|)
|∇ω|
, (3.13)
κ =
(ν · ∇) |∇ω|
|∇ω|
=(ν · ∇)ln|∇ω|, (3.14)
(β ·∇) |∇ω| =0. (3.15)
Обозначая через ∂/∂s
1
, ∂/∂s
2
соответственно дифференцирования по
направлениям главной нормали и бинормали линий поля, нетрудно видеть,
что
κ =
∂ ln |∇ω|
∂s
1
, 0=
∂ ln |∇ω|
∂s
2
. (3.16)
Для единичного векторного поля n введем углы ϑ и ψ, определяющие
его ориентацию в пространстве:
n =sinψ sin ϑi −cos ψ sin ϑj +cosϑk.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы