Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

40 3. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений
Поскольку безвихревое векторное поле заведомо является расслоенным,
то из приведенного рассуждения следует, что произвольное единичное век-
торное поле всегда можно представить в виде суммы двух расслоенных
полей, первое из которых вихревое, а второе — безвихревое.
Теперь представляется возможным обосновать утверждение, сформули-
рованное в разделе 1.1, о том, что для единичного векторного поля условие
n × rot n = 0 выполняется, только если векторное поле n безвихревое.
Воспользуемся представлением (3.2), в котором можно считать, что
n
0
· rot n
0
=0. Так как n × rot n = 0,тоrot n = λn. Предположим об-
ратное, т.е. векторное поле n — вихревое, следовательно, существует такая
точка, где вихрь n ненулевой. Тогда можно считать, что λ>0 всюду в
окрестности указанной точки. Последнее неравенство должно выполняться
одновременно с неравенством |n
0
| > 0 в той же самой окрестности. Действи-
тельно, если в упомянутой окрестности |n
0
| =0, то в силу (3.2) необходимо
rot n = 0, что противоречит предположению о том, что поле n — вихревое
в рассматриваемой окрестности.
Построим достаточно малый элемент S слоя поля n
0
, проходящий че-
рез вихревую точку поля n. На указанном элементе поверхности построим
замкнутый контур L, окружающий выбранную точку. На основании теоре-
мы Стокса заключаем, что циркуляцию вдоль контура L слоистого поля
n
0
, заведомо равную нулю, можно также вычислить в виде
0=
I
L
n
0
· dr =
I
L
n · dr =
ZZ
S
|n
0
|
−1
n
0
· rot ndS =
ZZ
S
λ|n
0
|
−1
n
0
· ndS,
следовательно, справедливо равенство
ZZ
S
λ |n
0
|dS +
ZZ
S
λ|n
0
|
−1
n
0
· ∇ΦdS =0. (3.3)
Так как n — единичное векторное поле и имеет место разложение (3.2),
то
|∇Φ|
2
+ |n
0
|
2
+2∇Φ · n
0
=1. (3.4)
Учитывая это соотношение, равенство (3.3) преобразуем к виду
ZZ
S
λ |n
0
|dS +
ZZ
S
λ|n
0
|
−1
(1 −|∇Φ|
2
)dS =0.
В силу λ>0 и |n
0
| > 0 из последнего уравнения следует, что
|∇Φ|
2
+ |n
0
|
2
=1,
так как в противном случае сумма интегралов не будет равна нулю. Но
тогда на основании (3.4) приходим к выводу, что
∇Φ · n
0
=0.
Пространственная задача математической теории пластичности

Страницы