Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев В.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

3. Расслоенные невырожденные пластические поля напряжений 43
Тогда условие расслоенности поля напряжений можно получить из (3.1)
в следующем виде:
cos ψ
∂ϑ
∂x
1
+sinψ
∂ϑ
∂x
2
−
1
2
sin 2ϑ sin ψ
∂ψ
∂x
1
+
1
2
sin 2ϑ cos ψ
∂ψ
∂x
2
+sin
2
ϑ
∂ψ
∂x
3
=0.
Таким образом, для напряженного состояния, соответствующего реб-
ру призмы Треска, поле собственных векторов тензора напряжений с наи-
большим (или наименьшим) собственным значением должно удовлетво-
рять уравнениям:
rotdiv(n ⊗ n)=0, n · rot n =0, n · n =1. (3.17)
В силу условия (3.1) векторы n, rot n, n ×rot n взаимно ортогональны,
и уравнения (1.38)–(1.40) приобретают следующий вид:
n · ∇Σ+∇ · n =0, (3.18)
(∇ × n) · ∇Σ=0, (3.19)
s · ∇Σ −|∇ × n| =0, (3.20)
где s — орт, направленный вдоль вектора n ×rot n. Напомним, что для рас-
слоенного поля напряжений направления rot n и s — характеристические,
ориентации векторов rot n и h совпадают.
На основании (3.19) заключаем, что для вихревого расслоенного поля
напряжений, соответствующего ребру призмы Треска, величина σ
3
не из-
меняется вдоль векторной линии вихря вектора n.
Учитывая (1.55), можно сделать также вывод о том, что относительное
изменение объема элементов, составляющих векторную линию rot n, одно
итоже.
Вдоль траектории, касающейся вектора t, величина главного напряже-
ния σ
3
не изменяется (см. (1.41)). Вектор t ортогонален rot n и составляет
с вектором s угол α
tgα =
|rot n|
divn
=
κ
κ
1
+ κ
2
. (3.21)
Таким образом, в случае вихревого расслоенного поля напряжений че-
рез каждую точку зоны пластического течения проходят две ортогональ-
ные друг другу траектории, вдоль которых величина главного напряжения
σ
3
не изменяется, причем вдоль любого третьего направления, некомпла-
нарного указанным двум, главное напряжение σ
3
будет заведомо перемен-
ным. Эти траектории касаются векторов t и rot n, располагающихся, оче-
видно, в плоскости, касательной к поверхности уровня главного напряже-
ния σ
3
.
Ю.Н. Радаев

Страницы